- ЦЕЛАЯ ФУНКЦИЯ
- ЦЕЛАЯ ФУНКЦИЯ
-
- функция, аналитическая во всей плоскости комплексного переменного (кроме, возможно, бесконечно удалённой точки). Она разлагается в степенной ряд
сходящийся во всей плоскости
Если f(r)
0 всюду, то f(z) = eP(z), где P(z) - Ц. ф. Если имеется конечное число точек, в к-рых f(z) обращается в нуль, и эти точки- z1, z2, ...,zk (их наз. нулями функции), то
где P(z )есть Ц. ф. В общем случае, когда f(z) имеет бесконечно много нулей z1, z2,..., справедливо представление
где P(z )есть Ц. ф., а l = 0, если f(0)
0, и l равно кратности нуля z = 0, если f(0)=0. Пусть
Если при больших r величина М(r )растёт не быстрее rm, то f(z)-многочлен степени, не большей m. Следовательно, если f(z) не многoчлен, то М(r )растёт быстрее любой степени r. При оценке роста М (r )в этом случае в качестве ф-ции сравнения берётся показательная ф-ция.
По определению, f(z) есть Ц. <ф. к о н е ч н о г о п о р я д-к а, если имеется конечное m, такое, что
Ниж. грань r множества чисел m, удовлетворяющих этому условию, наз. п о р я д к о м Ц. <ф. f(z). Порядок вычисляется по ф-ле
Если f(z) порядка р удовлетворяет условию
то говорят, что f(z) - ф-ция порядка r и к о н е ч н о г о т и п а. Ниж. грань s множества чисел a, удовлетворяющих данному условию, наз. типом Ц. ф. f(z). Он определяется из ф-лы
Ф-ция многих переменных f(z1, z2,..., zn) есть Ц. <ф., если она является аналитической при |zk|<
(k=1,2,..., п). Для неё вводятся понятия порядка и типа (сопряжённых порядков и типов). Простого представления в виде бесконечного произведения здесь получить не удаётся, потому что, в отличие от случая n=1, нули f(z) не являются изолированными.
Лит.: Левин Б. Я., Распределение корней целых функций, М., 1956; Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 3 изд., М., 1978; Ронкин Л. И., Введение в теорию целых функций многих переменных, М., 1971. А. Ф. Леонтьев.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.
