Конечная p-группа

Толкование

Конечная p-группа: Группа называется конечной $p$ -группой, если она имеет порядок, равный некоторой степени простого числа.

Содержание

1 Основные свойства конечных p-групп

2 Некоторые классы конечных p-групп

2.1 p-группы максимального класса

2.2 p-центральные p-группы

2.3 Мощные p-группы

2.4 Регулярные p-группы

3 Конечные p-группы небольших порядков

3.1 Число различных -групп порядка

3.2 p-группы порядка , асимптотика

4 Знаменитые проблемы теории конечных p-групп

4.1 Группа автоморфизмов конечной p-группы

4.2 Гипотеза Хигмена

4.3 Ослабленная гипотеза Бернсайда

4.4 Нерегулярные p-группы

5 Литература

6 Ссылки

Основные свойства конечных p-групп

Пусть $P$ — конечная $p$ -группа, тогда

P — нильпотентна.

$|Z(P)|>1$ , где $Z(P)$ — центр группы P.

Для любого $1\leq k <n$ в $P$ существует нормальная подгруппа порядка $p^k$ .

Если $H$ нормальна в $P$ , то $|H\cap Z(P)|>1$ .

$P'\leq \Phi(P)$ .

$P/\Phi(P)\cong E_{p^d}$ .

Некоторые классы конечных p-групп

В данном разделе описаны определения и свойства некоторых классов конечных $p$ -групп, которые часто рассматриваются в научной литературе.

p-группы максимального класса

Конечная $p$ -группа порядка $p^n$ называется группой максимального класса, если её ступень нильпотентности равна $n-1$ .

Если $P$ — конечная $p$ -группа максимального класса, то $P'=\Phi(P)$ и $|Z(P)|=p$ .

Единственными 2-группами порядка $2^n$ максимального класса являются: диэдральная группа $D_{2^n}$ , обобщённая группа кватернионов $Q_{2^n}$ и полудиэдральная группа $SD_{2^n}$ .

В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более сложен.

p-центральные p-группы

Конечная $p$ -группа называется $p$ -центральной, если $\Omega_1(P)\leq Z(P)$ . Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию мощной $p$ -группы.

Мощные p-группы

Конечная $p$ -группа называется мощной, если $[P,P]\leq P^p$ при $p\neq 2$ и $[P,P]\leq P^4$ при $p=2$ . Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию $p$ -центральной $p$ -группы.

Регулярные p-группы

Конечная $p$ -группа $P$ называется регулярной, если для любых $x,y\in P$ выполнено $(xy)^p=x^p y^p c^p$ , где $c\in P'$ . Регулярными будут, например, все абелевы $p$ -группы. Группа не являющаяся регулярной, называется нерегулярной.

Любая подгруппа и факторгруппа регулярной $p$ -группы регулярна.

Конечная $p$ -группа регулярна, если любая её подгруппа, порождённая двумя элементами регулярна.

Конечная $p$ -группа порядка не большего $p^p$ является регулярной.

Конечная $p$ -группа класс нильпотентности которой меньше $p$ является регулярной. Также регулярны все группы класса нильпотентности 2 при $p>2$ .

Любая конечная неабелева 2-группа является нерегулярной.

Конечные p-группы небольших порядков

Число различных $p$ -групп порядка $p^n$

Число неизоморфных групп порядка $p$ равно 1: группа $C_{p}$ .

Число неизоморфных групп порядка $p^2$ равно 2: группы $C_{p^2}$ и $C_{p}\times C_{p}$ .

Число неизоморфных групп порядка $p^3$ равно 5, из них три абелевы группы: $C_{p^3}$ , $C_{p^2}\times C_{p}$ , $C_{p}\times C_{p}\times C_{p}$ и две неабелевы: при $p>2$ — $E_{p^3}^+$ и $E_{p^3}^-$ ; при p = 2 — $D_4$ , $Q_8$ .

Число неизоморфных групп порядка $p^4$ равно 15 при $p>2$ , число групп порядка $2^4$ равно 14.

Число неизоморфных групп порядка $p^5$ равно $2p + 61 + 2GCD(p-1,3) + GCD(p-1,4)$ при $p\geq 5$ . Число групп порядка $2^5$ равно 51, число групп порядка $3^5$ равно 67.

Число неизоморфных групп порядка $p^6$ равно $3p^2 + 39p + 344 + 24GCD(p-1,3)+ 11GCD(p-1,4)+ 2GCD(p-1,5)$ при $p\geq 5$ . Число групп порядка $2^6$ равно 267, число групп порядка $3^6$ равно 504.

Число неизоморфных групп порядка $p^7$ равно $3p^5+12p^4+44p^3+170p^2+707p+2455+(4p^2+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^2+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9)$ при $p>5$ . Число групп порядка $2^7$ равно 2328, число групп порядка $3^7$ равно 9310, число групп порядка $5^7$ равно 34297.

p-группы порядка $p^n$ , асимптотика

При $n\rightarrow\infty$ число неизоморфных групп порядка $p^n$ асимптотически равно $p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^3}$ .

Знаменитые проблемы теории конечных p-групп

Группа автоморфизмов конечной p-группы

Для групп $p$ -автоморфизмов конечной $p$ -группы существуют несложные верхние оценки, однако оценки снизу гораздо сложнее. В течение более полувека остаётся открытой следующая гипотеза:

Пусть $P$ является нециклической $p$ -группой порядка $|P|\geq p^3$ , тогда $|P|\leq |Syl_p(Aut(P))|$ .

Эта гипотеза подтверждена для обширного класса $p$ -групп: абелевых групп, для всех групп порядков не более $p^7$ , групп максимального класса. Однако общего подхода к этой проблеме пока не найдено.

Гипотеза Хигмена

Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с регулярным автоморфизмом простого порядка $q$ нильпотентна.

Пусть группа $P$ обладает регулярным автоморфизмом простого порядка $q$ . Тогда её класс нильпотентности равен $cl(P)=\frac{q^2-1}{4}$ .

Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки: $cl(P) < q^q$ (Кострикин, Крекнин).

Ослабленная гипотеза Бернсайда

Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с $m$ образующими и периодом $n$ (то есть все её элементы $x$ удовлетворяют соотношению $x^n=1$ ), то она конечна. Если это так, обозначим максимальную из этих групп через $B(m,n)$ . Тогда все другие группы с таким же свойством будут её фактор-группами. Действительно, как легко показать группа $B(m,2)$ является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок группы $B(m,3)$ равен $3^{\frac{m(m^2+5)}{6}}$ . Однако, как показали Новиков и Адян, при $m\geq 2$ и при любом нечётном $n\geq 4381$ группа $B(m,n)$ бесконечна.

Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных $m$ -порождённых групп периода $n$ ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым. Для конечных $p$ групп она означает, что существует лишь конечное число $p$ групп данной экспоненты и с данным числом образующих.

Нерегулярные p-группы

Классификация нерегулярных p-групп порядка $p^{p+1}$ .

Литература

Белоногов В. А. Задачник по теории групп — М.: Наука, 2000.

Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7

Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — М., 1962.

Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359—371.

Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).

Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).

Gorenstein D. Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.

Huppert B. Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.

Lazard M. Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389—603.

Lubotzky A., Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515.

Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint.

Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.

Ссылки

Система GAP.

Категория:
Теория групп

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное

Смотреть что такое "Конечная p-группа" в других словарях:

Конечная группа — Симметрия снежинки связана с группой поворотов на угол, кратный 60° Конечная группа алгебраическая группа, содержащая конечное число элементов (это число называется её порядком). Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в… … Википедия
ГРУППА СУСЛОВИЕМ КОНЕЧНОСТИ — группа, элементы или подгруппы к рой удовлетворяют тому или иному условию конечности. Под условием конечности в теории групп понимается любое такое свойство, присущее всем конечным группам, что существуют бесконечные группы, к рые им не обладают … Математическая энциклопедия
КОНЕЧНАЯ ГРУППА — группа с конечным числом элементов. Это число наз. порядком группы. Исторически К. г. послужили исходным материалом для формирования многих понятий абстрактной теории групп. Обычно говорят, что целью теории К. г. является описание, с точностью до … Математическая энциклопедия
Конечная геометрия — Конечная геометрия это любая геометрическая система, имеющая конечное количество точек. Например, евклидова геометрия не является конечной, так как евклидова прямая содержит неограниченное число точек, а точнее говоря, содержит ровно… … Википедия
ГРУППА — множество, на к ром определена операция, наз. умножением и удовлетворяющая спец. условиям (групповым аксиомам): в Г. существует единичный элемент; для каждого элемента Г. существует обратный; операция умножения ассоциативна. Понятие Г. возникло… … Физическая энциклопедия
Группа (математика) — Теория групп … Википедия
Группа Семи островов — норв. Sjuøyane … Википедия
Группа (матем.) — Группа, одно из основных понятий современной математики. Теория Г. изучает в самой общей форме свойства действий, наиболее часто встречающихся в математике и её приложениях (примеры таких действий ≈ умножение чисел, сложение векторов,… … Большая советская энциклопедия
Группа Матьё — Группа Матьё конечная группа, изоморфная одной из пяти групп, открытых Э. Матьё. Эти группы обозначаются и являются примерами кратно транзитивных групп. Порядки групп Матьё равны соответственно 7920, 95 040, 443 520,… … Википедия
Группа Матье — Группа Матьё конечная группа, изоморфная одной из пяти групп, открытых Э. Матьё. Эти группы обозначаются и являются примерами кратно транзитивных групп. Порядки групп Матьё равны соответственно 7 920, 95 040, 443 520, 10 200 960, 244 823 040.… … Википедия

Словари и энциклопедии на Академике

Конечная p-группа

Содержание

Основные свойства конечных p-групп

Некоторые классы конечных p-групп

p-группы максимального класса

p-центральные p-группы

Мощные p-группы

Регулярные p-группы

Конечные p-группы небольших порядков

Число различных $p$ -групп порядка $p^n$

p-группы порядка $p^n$ , асимптотика

Знаменитые проблемы теории конечных p-групп

Группа автоморфизмов конечной p-группы

Гипотеза Хигмена

Ослабленная гипотеза Бернсайда

Нерегулярные p-группы

Литература

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое "Конечная p-группа" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Словари и энциклопедии на Академике

Википедия

Конечная p-группа

Содержание

Основные свойства конечных p-групп

Некоторые классы конечных p-групп

p-группы максимального класса

p-центральные p-группы

Мощные p-группы

Регулярные p-группы

Конечные p-группы небольших порядков

Число различных -групп порядка

p-группы порядка , асимптотика

Знаменитые проблемы теории конечных p-групп

Группа автоморфизмов конечной p-группы

Гипотеза Хигмена

Ослабленная гипотеза Бернсайда

Нерегулярные p-группы

Литература

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое "Конечная p-группа" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:

Число различных $p$ -групп порядка $p^n$

p-группы порядка $p^n$ , асимптотика