Первый интеграл

Первый интеграл

Пе́рвый интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений

\left\{ \begin{matrix} {x_1}'&=&a_1(x)\\ \dots&&\\ {x_n}'&=&a_n(x) \end{matrix} \right.,\quad x\in U

— дифференцируемая функция f: U\to\mathbb R, U\subseteq \mathbb R^n, такая, что её производная по направлению векторного поля A(x)= (a_1(x),\ldots,a_n(x))

L_A f= a_1(x)\frac{\partial f}{\partial x_1}+\dots+a_n(x)\frac{\partial f}{\partial x_n}=0

для всех x из области U. Другими словами, функция f постоянна на любом решении системы, содержащемся в области U.

Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Пусть U — область в \mathbb R^n, A(x)= (a_1(x),\ldots,a_n(x)) — дифференцируемое векторное поле в U, x_0\in U, A(x_0)\ne 0. Тогда существует такая окрестность точки x_0, что система дифференциальных уравнений

\left\{ \begin{matrix} {x_1}'&=&a_1(x)\\ \dots&&\\ {x_n}'&=&a_n(x) \end{matrix} \right.

имеет в этой окрестности ровно n-1 функционально независимых первых интегралов.

Примеры

Для уравнения x''+V(x)=0 относительно функции x(t) первым интегралом является функция E=\frac 12 x'^2+\int\limits_{x_0}^x V(z) dz (полная энергия в физических приложениях).

Литература

  • В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.


Формула

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Первый интеграл" в других словарях:

  • Первый интеграл —         системы обыкновенных дифференциальных уравнений                  , i = 1, …, n          соотношение вида                  (где С произвольная постоянная), левая часть которого сохраняет постоянное значение при подстановке любого решения… …   Большая советская энциклопедия

  • ПЕРВЫЙ ИНТЕГРАЛ — обыкновенного дифференциального уравнения отличная от постоянной и непрерывно дифференцируемая функция, производная к рой вдоль решений данного уравнения тождественно равна нулю. Для скалярного уравнения (*) П. и. есть функция F(x, у),… …   Математическая энциклопедия

  • Интеграл (значения) — Интеграл (см. также Первообразная, Численное интегрирование, Интегрирование по частям) математический оператор: Определённый интеграл Неопределённый интеграл различные определения интегралов: Интеграл расширение понятия суммы Интеграл Ито… …   Википедия

  • интеграл — а, м. intégrale f. <лат. integer целый. Математическое понятие о целой величине как сумме своих бесконечно малых частей. Нахождение интеграла. БАС 1. Найти интеграл уравнения. 1766. Котельников Геодет 175. // Сл. 18. Алферинька недурно… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • Интеграл (компания) — У этого термина существуют и другие значения, см. Интеграл (значения). ОАО «Интеграл» Год основания 1962 Расположение Минск …   Википедия

  • Общий интеграл —         обыкновенного дифференциального уравнения          F (x, у, у ,..., y (n)) =0          соотношение          Φ(х, у, C1,..., Cn) =0,          содержащее и существенных произвольных постоянных C1,..., Cn, следствием которого является данное …   Большая советская энциклопедия

  • ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ — интеграл по поверхности. Пусть поверхность 5, расположенная в трехмерном евклидовом пространстве R3 с декартовыми координатами х, у, z и имеющая, быть может, самопересечения, задана векторным представлением где (1) непрерывно дифференцируемая… …   Математическая энциклопедия

  • НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ — интеграл от неограниченной функции или от функции по неограниченному множеству. Пусть функция f определена на конечном или бесконечном полуинтервале , и для любого функция f интегрируема но Риману (по Лебегу) на отрезке Тогда предел (в случае… …   Математическая энциклопедия

  • Формулировка через интеграл по траекториям — Формулировка через интеграл по траеториям квантовой механики  это описание квантовой теории, которое обобщает принцип действия классической механики. Оно замещает классическое обозначение одиночной, уникальной траектории для системы суммой, или… …   Википедия

  • Фазовый интеграл — (англ. Phase Integral)  один из фундаментальных интегралов квантовой механики, впервые предложенный Фейнманом в начале 60 х годов XX века. Подобно интегралу по траекториям, этот интеграл позволяет находить смещение фазы, обусловленное… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»