- Дискретное косинусное преобразование
-
Дискретное косинусное преобразование (англ. Discrete Cosine Transform, DCT) — одно из ортогональных преобразований. Вариант косинусного преобразования для вектора действительных чисел. Применяется в алгоритмах сжатия информации с потерями, например, MPEG и JPEG. Это преобразование тесно связано с Дискретным преобразованием Фурье и является гомоморфизмом его векторного пространства.
Математически преобразование можно осуществить умножением вектора на матрицу преобразования. При этом матрица обратного преобразования с точностью до множителя равна транспонированной матрице. В математике матрицы выбирают так, чтобы преобразование было ортонормированным, а постоянный множитель равен единице. В компьютерных приложениях это не всегда так.
Различные периодические продолжения сигнала ведут к различным типам ДКП. Ниже приводятся матрицы для первых четырёх типов ДКП:
![\mathrm{DCT}\text{-}1_n= \left[\cos kl\tfrac{\pi}{n-1}\right]_{0\leq k,l<n}](a2d73c9500db04d442d0fc3981f73cb1.png)
![\mathrm{DCT}\text{-}2_n= \left[\cos k(l+\tfrac{1}{2})\tfrac{\pi}{n}\right]_{0\leq k,l<n}](67794d5016179a421677f8bfe4d20e83.png)
![\mathrm{DCT}\text{-}3_n= \left[\cos (k+\tfrac{1}{2})l\tfrac{\pi}{n}\right]_{0\leq k,l<n}](eb5f57543aa517adeea400083fcd0147.png)
![\mathrm{DCT}\text{-}4_n= \left[\cos (k+\tfrac{1}{2})(l+\tfrac{1}{2})\tfrac{\pi}{n}\right]_{0\leq k,l<n}](6874074fe26447f46c95e134eb3b7e93.png)
Именно
чаще всего встречается в практических приложениях благодаря свойству «уплотнения энергии».
для вектора из 8 чисел часто называют 
. Наиболее распространён двумерный вариант преобразования для матриц 8x8, состоящий из последовательности сначала для каждой строки, а затем для каждого столбца матрицы.Существуют алгоритмы быстрого
-преобразования, похожие на алгоритм быстрого преобразования Фурье. Для и других вариантов с фиксированной размерностью вектора существуют также алгоритмы, позволяющие свести количество операций умножения к минимуму.Существуют аналоги
, приближающие косинус числами, легко получающимися путём небольшого количества операций сдвига и сложения, что позволяет избежать операций умножения и тем самым повысить эффективность вычислений. Преимущество таких аналогов — более высокая скорость.Литература
- C. Loeffler, A. Ligtenberg and G. Moschytz. Practical Fast 1-D DCT Algorithms with 11 Multiplications // Proc. Int’l. Conf. on Acoustics, Speech, and Signal Processing 1989 (ICASSP '89), pp. 988—991.
Ссылки
- Список статей по ДКП и альтернативным преобразованиям
- About JPEG: Discrete Cosine Transform
- The Discrete Cosine Transform (DCT)
Категории:- Алгоритмы
- Дискретные преобразования
- Математический анализ
- Цифровая обработка сигналов
Wikimedia Foundation. 2010.
