Лемма Фату

Лемма Фату

Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.

Содержание

Формулировки из функционального анализа

Пусть фиксировано пространство с мерой (X,\mathcal{F},\mu). Далее, пусть \{f_n\}_{n=1}^{\infty} — последовательность неотрицательных[1] измеримых функций на X. Тогда справедливо следующее неравенство для нижних пределов

\int\limits_X {\liminf_{n \to \infty}} f_n(x)\, \mu(dx) \le {\liminf_{n \to \infty}} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx).

Обратите внимание: в формуле функции могут достигать бесконечности, их интегралы тоже могут быть бесконечными.

Если, кроме того, \{f_n\}_{n=1}^{\infty} — суммируемы, имеют предел f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x) почти всюду и имеют ограниченные в совокупности интегралы

\int\limits_X f_n(x)\mu(dx)\leq K,\forall n,

K — некоторое фиксированное число, тогда f(x) — суммируема и справедливо неравенство:

\int\limits_X f(x)\mu(dx)\leq K

Формулировка из теории вероятностей

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов \Omega, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть неотрицательная последовательность интегрируемых случайных величин \{X_n\}_{n=1}^{\infty}. Тогда выполняется следующее неравенство для нижних пределов

\mathbb{E}\left[{\liminf\limits_{n\to \infty}}X_n\right] \le {\liminf\limits_{n\to \infty}} \,\mathbb{E} X_n.

См. также

Примечания

  1. ↑ Если \{f_n\}_{n=1}^{\infty} обладает более слабым условием — ограниченностью снизу какой-либо суммируемой функцией: f_n(x)\geq f(x)\, , n=1,2,\ldots, то теорему можно применить к последовательности f_n-f


Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Лемма Фату" в других словарях:

  • Фату, Пьер — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Фату. Пьер Жозе Луи Фату Pierre Joseph Louis Fatou …   Википедия

  • Математическое ожидание — См. также: Условное математическое ожидание Математическое ожидание  среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей.[1] В англоязычной литературе и в математических… …   Википедия

  • Интеграл Лебега — Сверху интегрирование по Риману, снизу по Лебегу Интеграл Лебега  это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определённые на конечном о …   Википедия

  • Теорема Леви о монотонной сходимости — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Леви. Теорема о монотонной сходимости (теорема Беппо Леви)  это теорема из теории интегрирования Лебега, имеющая фундаментальное значение для функционального анализа и теории… …   Википедия

  • Условное математическое ожидание — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете …   Википедия

  • Интеграл Даниэля — Одна из основных трудностей в использовании традиционного интеграла Лебега состоит в том, что его применение требует предварительной разработки подходящей теории меры. Существует другой подход, изложенный Даниэлем (Daniell) в 1918 году в его… …   Википедия

  • Интеграл Лебега — Стилтьеса — Интеграл Лебега  это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла… …   Википедия

  • Лебега интеграл — Интеграл Лебега  это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла… …   Википедия

  • Матожидание — Математическое ожидание  понятие среднего значения случайной величины в теории вероятностей. В зарубежной литературе обозначается через , в русской M[X]. В статистике часто используют обозначение μ. Содержание 1 Определение …   Википедия

  • Ожидаемая ценность — Математическое ожидание  понятие среднего значения случайной величины в теории вероятностей. В зарубежной литературе обозначается через , в русской M[X]. В статистике часто используют обозначение μ. Содержание 1 Определение …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»