- Показатель Гельдера
-
Показатель Гёльдера α (известен также как показатель Липшица) — характеристика гладкости функции. Локальный (точечный) показатель Гёльдера характеризует локальную гладкость (локальную нерегулярность) функции в точке. В общем случае показатель Гёльдера является вещественым.
Однородный показатель Гёльдера функции f на множестве
определяется предельным спадом его Фурье-преобразования. Сигнал ограничен и имеет однородный показатель Гёльдера α на множестве , если 
.Локальный показатель Гёльдера может быть рассчитан, исходя из спада коэффициентов вейвлет-преобразования функции, находящихся на линии локальных максимумов модуля вейвлет-преобразования[1].
Определение
Функция f имеет локальный (или точечный) показатель Гёльдера
в точке v тогда, когда существует константа 
и полином pv порядка m = α такой, что 
Если функция f регулярна по Гёльдеру с показателем α (имеет однородный показатель Гёльдера α) α > m в окрестности точки v, то это означает что функция обязательно m раз дифференцируема в этой окрестности.
Функция, которая терпит разрыв в точке v, имеет показатель Гёльдера α = 0 в этой точке.
Локальный (точечный) показатель Гёльдера может произвольно изменяться во времени. Это изменение может создаваться функцией с так называемыми неизолированными нерегулярностями, где функция имеет разную регулярность по Гёльдеру в каждой точке. В противоположность, постоянный (однородный) во времени показатель Гёльдера обеспечивает более глобальное измерение регулярности, которое относится ко всему интервалу.
Говоря не математическим языком, показатель Гёльдера определяет дробную дифференцируемость функции (в точке).
Примечания
- ↑ Mallat S., Hwang W. L. Singularity detection and processing with wavelets // IEEE Transactions on Information Theory. — 1992. — Vol. 38. — No. 2. — P. 617—639.
Wikimedia Foundation. 2010.
