Принцип Коши-Кантора

Принцип Коши-Кантора

Лемма о вложенных отрезках или лемма Кантора — это фундаментальное утверждение в математическом анализе, связанное с полнотой поля вещественных чисел.

Формулировка

Пусть дана последовательность вложенных отрезков \{X_n\}_{n=1}^{\infty}, то есть X_n = [a_n,b_n],\; X_{n+1} \subset X_n,\; n\in \mathbb{N}. Тогда

  1. найдется хотя бы одна точка, принадлежащая всем этим отрезкам, то есть
    \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}X_n \neq \emptyset.
  2. если длина отрезков стремится к нулю, то такая точка единственна:
    \left(\lim\limits_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0 \right) \Rightarrow \left( \exists ! c\in \mathbb{R}\; \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}X_n = \{c\} \right).

Замечание

Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы. Например,

\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( 0, \frac{1}{n} \right) = \emptyset.

Доказательство

1) \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}X_n \neq \emptyset.

\left\{ a_n \right\} левее \left\{ b_n \right\} Тогда, из определения о вложенных отрезках \mathcal {8}n : a_n\leqslant c \leqslant b_n => c \in \mathbf{X_n}

2) \left(\lim\limits_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0 \right) \Rightarrow \left( \exists ! c\in \mathbb{R}\; \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}X_n = \{c\} \right).


\left\{ a_n \right\} \uparrow , что для любого n : a_n<b_1\,\!, следовательно существует \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=c^\prime\

\left\{ b_n \right\} \downarrow , что для любого n : b_n>a_1\,\!, и существует \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=c^{\prime\prime}\


Так как мы доказываем единственность точки, следовательно пределы последовательностей в этой точке \left\{ a_n \right\} и \left\{ b_n \right\} равны. Из этого следует, \lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0\


Как нам известно \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=c^\prime\ , а \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=c^{\prime\prime}\ , то

\lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)={\lim_{n\rightarrow\infty}b_n-\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\ \Rightarrow \ c^{\prime\prime}-c^\prime=0 \Rightarrow \ c^{\prime\prime}=c^\prime

Что и требовалось доказать.



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Принцип Коши-Кантора" в других словарях:

  • Непрерывность множества действительных чисел — Непрерывность действительных чисел  свойство системы действительных чисел , которым не обладает множество рациональных чисел . Иногда вместо непрерывности говорят о полноте системы действительных чисел[1]. Существует несколько различных… …   Википедия

  • Лемма о вложенных отрезках — Лемма о вложенных отрезках, или принцип вложенных отрезков Коши Кантора[1], или принцип непрерывности Кантора[2]  фундаментальное утверждение в математическом анализе, связанное с полнотой поля вещественных чисел. Содержание 1 Формулировка …   Википедия

  • Конструктивные способы определения вещественного числа — При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты,… …   Википедия

  • Математика Древнего Востока — История науки По тематике Математика Естественные науки …   Википедия

  • История математики — История науки …   Википедия

  • Математика —          I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой.          Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.          «Чистая …   Большая советская энциклопедия

  • Спор о струне — Колебания струн пианино описываются дифференциальными уравнениями Спор о струне, спор о колеблющейся струне, спор о звучащей струне  научная дискуссия, развернувш …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»