Римана интеграл

Римана интеграл
Геометрический смысл интеграла Римана

Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Содержание

Неформальное геометрическое описание

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Определения

Через интегральные суммы

Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f.

Рассмотрим разбиение отрезка a=x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_{n-1} < x_n=b — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков [x_{i-1}, x_{i}],\; i=1\dots n. Длина наибольшего из отрезков d = max(Δxi), где Δxi = xi − xi − 1, называется диаметром разбиения.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке \xi _i \in [x_{i-1}, x_i]. Интегральной суммой называется выражение \sigma _x = \sum\limits_{i = 1}^n {f(\xi _i )\Delta x_i }.

Если при стремлении диаметра разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора \xi _i \in [x_{i-1}, x_i], то это число называется интегралом функции f на отрезке [a,b], т.е. \int\limits_a^b f(x)\,dx = \lim \limits_{d \to 0} \sigma _x

В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a,b]; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b].

Через суммы Дарбу

Суммы Дарбу для разбиения на четыре интервала: нижняя (площадь зелёного) и верхняя (площадь зелёного и серого)

Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка \Delta: a=x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_{n-1} < x_n=b.

Верхней суммой Дарбу Δ называется число

\overline{S}_{\Delta }=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sup _{[x_{i-1},x_{i}]}f(x)\Delta x_{i}}

Соответственно, нижней суммой Дарбу для Δ называется

\underline{S}_{\Delta }=\sum\limits_{i=1}^{n}{\inf _{[x_{i-1},x_{i}]} f(x)\Delta x_{i}}

Функция называется интегрируемой по Риману, если существует вещественное число

I=\sup_{\Delta} \underline{S}_{\Delta }=\inf_{\Delta} \overline{S}_\Delta

В этом случае, по определению

\int\limits_a^b {f(x)\,dx}=I.


Свойства

  • Если функция F является первообразной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a,b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b) − F(a).
  • Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману. Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле.
  • Ограничение: Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема и на меньшем отрезке [a1,b1], где a\le a_1 < b_1\le b.
  • Если функция интегрируема на отрезке [a,b] и на отрезке [b,c], то она интегрируема и на отрезке [a,c], и \int\limits_a^c f(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx + \int\limits_b^c f(x)\,dx.
  • Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и \alpha, \beta \in\R, то функция αf + βg тоже интегрируема, и
\int\limits_a^b (\alpha f(x) +\beta g(x))\,dx = \alpha \int\limits_a^b f(x)\,dx + \beta \int\limits_a^b g(x)\,dx
  • Предел: Если интегрируемые функции fi равномерно сходятся на отрезке [a,b] к функции f, то f интегрируема, и
\lim_{i\to\infty} \int\limits_a^b f_i(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx

История

Такое определение интеграла дано Коши[1], но применялось только для непрерывных функций.

Риман в 1854 году[2], дал это же определение без предположения непрерывности.

См. также

Ссылки

  1. ↑ Cauchy A. L., Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites, Turin 1831
  2. ↑ Riemann В., «Göttinger Akad. Abhandl.», 1868, Bd 13

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Римана интеграл" в других словарях:

  • РИМАНА ИНТЕГРАЛ — обобщение понятия Коши интеграла на нек рый класс разрывных функций, введенное Б. Риманом (В. Riemann, 1853). Пусть функция f (х)задана на отрезке [ а, b]и . Сумму вида (1) где , наз. и н т е г р а л ь н о й с у м м о й, отвечающей данному… …   Математическая энциклопедия

  • Римана интеграл —         обычный определённый Интеграл. Само определение Р. и. по существу было дано О. Коши (1823), который, однако, применял его к непрерывным функциям. Б. Риман впервые указал (1853, опубликовано в 1867) необходимое и достаточное условие… …   Большая советская энциклопедия

  • Интеграл Даниэля — Одна из основных трудностей в использовании традиционного интеграла Лебега состоит в том, что его применение требует предварительной разработки подходящей теории меры. Существует другой подход, изложенный Даниэлем (Daniell) в 1918 году в его… …   Википедия

  • ИНТЕГРАЛ — одно из центральных понятий математич. анализа и всей математики, возникновение к рого связано с двумя задачами: о восстановлении функции по ее производной (напр., с задачей об отыскании закона движения материальной точки вдоль прямой по… …   Математическая энциклопедия

  • Интеграл Даниеля — Одна из основных трудностей в использовании традиционного интеграла Лебега состоит в том, что его применение требует предварительной разработки подходящей теории меры. Существует другой подход, изложенный Даниелем (англ.) в 1918 году в его… …   Википедия

  • Интеграл Курцвейля — Интеграл Курцвейля  Хенстока  обобщение интеграла Римана, позволяет полностью решить задачу о восстановлении дифференцируемой функции по её производной. Ни интеграл Римана (в том числе и несобственный), ни интеграл Лебега не дают… …   Википедия

  • Интеграл Лебега — Стилтьеса — Интеграл Лебега  это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла… …   Википедия

  • Интеграл Римана — Стилтьеса — Интеграл Римана  Стилтьеса  обобщение определённого интеграла, предложенное в 1894 году Стилтьесом. Вместо предела обычных интегральных сумм рассматривается предел сумм где интегрирующая функция j(x) есть функция с ограниченным… …   Википедия

  • Интеграл (значения) — Интеграл (см. также Первообразная, Численное интегрирование, Интегрирование по частям) математический оператор: Определённый интеграл Неопределённый интеграл различные определения интегралов: Интеграл расширение понятия суммы Интеграл Ито… …   Википедия

  • Интеграл Римана — Интеграл Римана  Стилтьеса  обобщение определённого интеграла, предложенное в 1894 году Стилтьесом. Вместо предела обычных интегральных сумм рассматривается предел сумм где интегрирующая функция есть функция с ограниченным изменением… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»