Собственные векторы, значения и пространства

Синим цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от красного, при деформации(преобразовании) не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению $\lambda=1$ . Любой вектор, параллельный синему вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.

Содержание

1 Определения собственного числа, собственного и корневого векторов линейного оператора
2 Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств
3 Литература

Определения собственного числа, собственного и корневого векторов линейного оператора

Пусть $L$ — линейное пространство над полем $K$ , $A\colon L \to L$ — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования $A$ называется такой ненулевой вектор $x \in L$ , что для некоторого $\lambda \in K$

$\ A x = \lambda x$

Собственным значением линейного преобразования $A$ называется такое число $\lambda \in K$ , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение $A x = \lambda x$ имеет ненулевое решение $x \in L$ .

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный $\lambda x$ , а соответствующий скаляр $\lambda$ называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования $A$ для данного собственного числа $\lambda \in K$ (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов $x \in L$ , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его $E_{\lambda}$ . По определению,

$E_{\lambda}=\ker(A-\lambda \cdot E)$

где $E$ — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования $A$ для данного собственного значения $\lambda \in K$ называется такой ненулевой вектор $x \in L$ , что для некоторого натурального числа $m$

$(A-\lambda \cdot E)^m x =0$

Если $m$ является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть $(A-\lambda \cdot E)^{m-1} x \neq 0$ ), то $m$ называется высотой корневого вектора $x$ .

Корневым подпространством линейного преобразования $A$ для данного собственного числа $\lambda \in K$ называется множество всех корневых векторов $x \in L$ , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его $V_{\lambda}$ . По определению,

$V_{\lambda}=\bigcup_{m=1}^{\infty}\ker(A-\lambda \cdot E)^m = \bigcup_{m=1}^{\infty}V_{m,\lambda},$

где $V_{m,\lambda}= \ker(A-\lambda \cdot E)^m$

Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств

Общий случай

Подпространство $V \subset L$ называется инвариантным подпространством линейного преобразования $A$ ( $A$ -инвариантным подпространством), если

$AV \subseteq V$ .

Собственные подпространства $E_{\lambda}$ , корневые подпространства $V_{\lambda}$ и подпространства $V_{m,\lambda}$ линейного оператора $A$ являются $A$ -инвариантными.

Собственные векторы являются корневыми (высоты 1): $E_{\lambda} \subseteq V_{\lambda}$ ;

Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей

$A= \begin{pmatrix} 1& 1\\ 0&1\end{pmatrix}$

$(A-E)^2=0$ , и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но $A$ имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).

Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:

$V_{\lambda} \bigcap V_{\mu}=\{0\}$ если $\lambda \neq \mu$ .

Метод поиска собственных значений для самосопряженных операторов, и поиска сингулярных чисел для нормального оператора дает теорема Куранта-Фишера.

Конечномерные линейные пространства

Выбрав базис в $n$ -мерном линейном пространстве $L$ , можно сопоставить линейному преобразованию $A\colon L \to L$ квадратную $n\times n$ матрицу и определить для неё характеристический многочлен матрицы

$P_A(\lambda)=\det (A-\lambda \cdot E) = \sum\limits_{k=0}^{n}a_k \lambda^k$ .

Характеристический многочлен не зависит от базиса в $L$ . Его коэффициенты являются инвариантами оператора $A$ . В частности, $a_0 = \det\,A$ , $a_{n-1} = \operatorname{tr}\, A$ не зависят от выбора базиса.
Собственные значения, и только они, являются корнями характеристического многочлена матрицы.
Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.
Если выбрать в качестве базисных векторов собственные вектора оператора, то матрица $A$ в таком базисе станет диагональной, причём на диагонали будут стоять собственные значения оператора. Отметим, однако, что далеко не любая матрица допускает базис из собственных векторов (общая структура описывается нормальной жордановой формой).
Для положительно определённой симметричной матрицы $A$ процедура нахождения собственных значений и собственных векторов является ни чем иным как поиском направлений и длин полуосей соответствующего эллипса.

Пусть числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел). Тогда характеристический многочлен разлагается в произведение $n$ линейных множителей

$P_A(\lambda)=(-1)^n \prod_{i=1}^n (\lambda - \lambda_i)$

где $\lambda_i \; (i=1,\ldots,n )$ — собственные значения; некоторые из $\lambda_i$ могут быть равны. Кратность собственного значения $\lambda_i$ — это число множителей равных $\lambda - \lambda_i$ в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).

Размерность корневого пространства $V_{\lambda_i}$ равна кратности собственного значения.
Векторное пространство $L$ разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о жордановой форме):

$L=\bigoplus_{\lambda_i}V_{\lambda_i}$

где суммирование производится по всем $\lambda_i$ — собственным числам $A$ .

Геометрическая кратность собственного значения $\lambda_i$ — это размерность соответствующего собственного подпространства $E_{\lambda_i}$ ; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку $E_{\lambda_i} \subseteq V_{\lambda_i}$

Гильбертовы пространства над полем комплексных чисел и нормальные операторы

Наличие скалярного произведения позволяет выделить важные классы операторов, собственные значения и собственные векторы которых обладают рядом дополнительных полезных свойств.

Нормальным оператором называется оператор $A$ , коммутирующий со своим сопряжённым $A^*$ :

$A A^*=A^* A$ .

Частными классами нормальных операторов являются самосопряжённые (эрмитовы) операторы ( $A =A^*$ ), антиэрмитовы операторы ( $A =-A^*$ ) и унитарные операторы ( $A^{-1} =A^*$ ), а также их вещественные варианты: симметричные операторы, антисимметричные операторы и ортогональные преобразования.

Все корневые векторы нормального оператора являются собственными.

Собственные векторы нормального оператора $A$ , соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. То есть если $A x=\lambda x$ , $A y=\mu y$ и $\lambda \neq \mu$ , то $(x,y)=0$ . (Для произвольного оператора это неверно.)

Все собственные значения самосопряжённого оператора являются вещественными.

Все собственные значения антиэрмитового оператора являются мнимыми.

Все собственные значения унитарного оператора лежат на единичной окружности $|\lambda|=1$ .

В конечномерном случае, сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора $A\colon \C^n \to \C^n$ , соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:

$L=\bigoplus_{\lambda_i}E_{\lambda_i},$

где суммирование производится по всем $\lambda_i$ — собственным числам $A$ , а $E_{\lambda_i}$ взаимно ортогональны для различных $\lambda_i$ .

Последнее свойство для нормального оператора над $\C$ является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном базисе (в конечномерном случае).

Положительные матрицы

Квадратная вещественная $n \times n$ матрица $A=(a_{ij})$ называется положительной, если все её элементы положительны: $a_{ij} > 0$ .

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица $A$ имеет положительное собственное значение $r$ , которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению $r$ соответствует собственный вектор $e_r$ , все координаты которого строго положительны. Вектор $e_r$ — единственный собственный вектор $A$ (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Собственный вектор $e_r$ может быть вычислен посредством прямых итераций: выберем произвольный начальный вектор $v_0$ с положительными координатами. Положим:

$v_{k+1} = \frac{A v_{k}}{\|A v_{k}\|}$

Последовательность $v_{k}$ сходится к нормированному собственному вектору $e_r / \|e_r\|$ .

Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.

Литература

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
Уилкинсон Д. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970. — 564 с.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Категории:

Функциональный анализ
Линейная алгебра
Матрицы

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное

Смотреть что такое "Собственные векторы, значения и пространства" в других словарях:

Собственные векторы — Собственные векторы, значения и пространства Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1.… … Википедия
Собственные векторы — линейного преобразования, векторы, которые при этом преобразовании не меняют своего направления, а только умножаются на скаляр. Например, С. в. преобразования, составленного из вращении вокруг некоторой оси и сжатия к перпендикулярной ей… … Большая советская энциклопедия
Собственные значения — линейного преобразования или оператора А, числа λ, для которых существует ненулевой вектор х такой, что Ах = λх; вектор х называется собственным вектором (См. Собственные векторы). Так, С. з. дифференциального оператора L (y) с заданными… … Большая советская энциклопедия
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ — численные методы нахождения методы вычисления полного спектра интегрального оператора или его части (чаще всего ставится задача отыскания одного двух минимальных или максимальных по модулю собственных значений). Сопутствующей задачей часто бывает … Математическая энциклопедия
Истинное ортогональное разложение — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… … Википедия
Метод Главных Компонент — (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих областях, таких как… … Википедия
Преобразование Карунена-Лоэва — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… … Википедия
Преобразование Кархунена-Лоэва — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… … Википедия
Преобразование Карунена - Лоэва — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… … Википедия
Преобразование Кархунена - Лоэва — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… … Википедия

Словари и энциклопедии на Академике

Собственные векторы, значения и пространства

Содержание

Определения собственного числа, собственного и корневого векторов линейного оператора