Формула Коши-Адамара

Формула Коши-Адамара
Основная статья: Степенной ряд

Круг сходимости степенного ряда

\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n

— круг вида

D = {z: | z − z0 | < R}, z\in\mathbb C,

в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при | z − z0 | > R, расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в пустое множество, когда R = 0, и может совпадать со всей плоскостью переменного z, когда R = \infty.

Радиус сходимости

Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда.

Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара:

{1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow \infty}} \, |a_n|^{1/n}

Эта формула выводится на основе признака Коши.

Теорема Адамара

Основная статья: :en:Ostrowski-Hadamard gap theorem‎

Для степенного ряда

f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k,

у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов ak(i) удовлетворяет

\lim_{i\to\infty} \frac{k(i+1)}{k(i)} &amp;gt; 1 + \delta \,

для некоторого фиксированного δ > 0, круг с центром z0 и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.

См. также



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Формула Коши-Адамара" в других словарях:

  • Формула Коши — Адамара — Основная статья: Степенной ряд Круг сходимости степенного ряда круг вида D = {z: | z − z0 | < R}, , в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при | z − z0 | > R, расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть… …   Википедия

  • КОШИ - АДАМАРА ТЕОРЕМА — пусть задан степенной ряд Если то ряд (1) сходится только в точке z=a; если то ряд (1) абсолютно сходится в круге радиуса и расходится вне этого круга при если то ряд (1) абсолютно сходится при всех Содержание К. А. т. выражается, таким образом,… …   Математическая энциклопедия

  • Адамар, Жак — Жак Саломон Адамар фр. Jacques Salomon Hadamard Дата рождения …   Википедия

  • Степенной ряд — с одной переменной  это формальное алгебраическое выражение вида: в котором коэффициенты берутся из некоторого кольца . Содержание 1 Пространство …   Википедия

  • Круг сходимости — Основная статья: Степенной ряд Круг сходимости степенного ряда круг вида , , в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при , расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Радиус… …   Википедия

  • Радиус сходимости — Основная статья: Степенной ряд Круг сходимости степенного ряда круг вида D = {z: | z − z0 | < R}, , в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при | z − z0 | > R, расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть… …   Википедия

  • ДИРИХЛЕ РЯД — функциональный ряд вида где а п комплексные коэффициенты; l п, 0< показатели Д. p., s= s+ it комплексное переменное. При ln=ln пполучается так наз. обыкновенный ряд Дирихле Ряд представляет для s>1 дзета функцию Римана. Ряды где х(п)… …   Математическая энциклопедия

  • Математика Древнего Востока — История науки По тематике Математика Естественные науки …   Википедия

  • История математики — История науки …   Википедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ — уравнения, описывающие математические модели физических явлений. М. ф. у. часть предмета математической физики. Многие явления физики и механики (гидро и газодинамики, упругости, электродинамики, оптики, теории переноса, физики плазмы, квантовой… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»