Функциональная последовательность

Содержание

1 Функциональная последовательность
- 1.1 Поточечная сходимость
- 1.2 Равномерная сходимость
  - 1.2.1 Критерий Коши равномерной сходимости
2 Функциональный ряд
3 Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов
4 Ссылки

Функциональная последовательность

Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве $\ E$ включенном в d-мерное евклидово пространство $\ \mathbb{R}^d$ .

$\ {u_k}(x): E \mapsto \mathbb{C},~~ E \subseteq \mathbb{R}^d,~~ k\in \mathbb{N}$

Поточечная сходимость

Числовая последовательность $\ {u_k}(x)$ сходится поточечно к числовой последовательности $\ {u}(x)$ , если $\forall x\in E \;\;\;\exists\lim_{k \rightarrow \infty} \ {u_k}(x)=\ {u}(x)$ .

Равномерная сходимость

Существует функция $\ u(x): E\mapsto\mathbb{C}$ такая, что: $\ \sup\mid {u_k}(x) - u(x)\mid\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0,~~ x\in E$

Факт равномерной сходимости последовательности $\ {u_k}(x)$ к функции $\ u(x)$ записывается: $\ {u_k}(x)\rightrightarrows u(x)$

Критерий Коши равномерной сходимости

$\ \forall\varepsilon &gt; 0~~ \exist k(\varepsilon): \mid {u_l}(x) - {u_m}(x) \mid &lt; \varepsilon, ~~\forall l,m &gt;k(\varepsilon)$

Функциональный ряд

$\ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)$

$\ {S_n}(x) = \sum_{k=1}^{n} {u_k}(x)$ — n-ная частичная сумма.

В этом разделе всё происходит на множестве $\ E$

Поточечная сходимость

Последовательность $\ {S_n}(x)$ сходится поточечно.

Равномерная сходимость

Последовательность $\ {S_n}(x)$ сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости

$\ {u_k}(x)\rightrightarrows 0$

Критерий Коши равномерной сходимости

Критерий Коши для последовательности $\ {S_n}(x)$ .

Абсолютная сходимость

Ряд $\ \sum_{k=1}^{\infty} \mid{u_k}(x)\mid$ сходится.

Признаки равномерной сходимости

Признак сравнения

Ряд $\ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)$ сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

Ряд $\ \sum_{k=1}^{\infty} {v_k}(x)$ сходится равномерно.
$\ \mid{u_k}(x)\mid &lt; {v_k}(x),~ \forall x\in E,~ \forall k\in \mathbb{N}$

Признак Вейерштрасса

Ряд $\ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)$ сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

Числовой ряд $\ \sum_{k=1}^{\infty}a_k$ сходится.
$\ \mid{u_k}(x)\mid &lt; {a_k},~ \forall x\in E,~ \forall k\in \mathbb{N}$

Признак Дирихле

Ряд $\sum_{k=1}^\infty {{a_k}(x)}{{u_k}(x)}$ сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

Последовательность действительнозначных функций $\ {a_k}(x)$ монотонна $\ \forall x\in E$ и $\ {a_k}(x)\rightrightarrows 0$
Частичные суммы $\ {S_n}(x)$ ряда $\ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)$ равномерно ограничены.

Признак Абеля

Ряд $\sum_{k=1}^\infty {{a_k}(x)}{{u_k}(x)}$ сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

Последовательность действительнозначных функций $\ {a_k}(x)$ равномерно ограничена и монотонна $\ \forall x, x\in E$ .
Ряд $\ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)$ равномерно сходится.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов

Теоремы о непрерывности

Рассматривается комплекснозначные функции на множестве $\ E$

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.

Последовательность $\ {u_k}(x)\rightrightarrows u(x)$

$\ \forall k:$ функция $\ {u_k}(x)$ непрерывна в точке $\ x_0$

Тогда $\ u(x)$ непрерывна в $\ x_0$ .

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.

Ряд $\ \sum_{k=0}^{\infty} {u_k}(x)\rightrightarrows S(x)$

$\ \forall k:$ функция $\ {u_k}(x)$ непрерывна в точке $\ x_0$

Тогда $\ S(x)$ непрерывна в $\ x_0$ .

Теоремы об интегрировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

$\ \forall k:$ функция $\ {u_k}(x)$ непрерывна на отрезке $\ [a, b]$

$\ {u_k}(x)\rightrightarrows u(x)$ на $\ [a, b]$

Тогда $\ \int\limits_{a}^{x} {u_k}(x)dx \rightrightarrows \int\limits_{a}^{x} u(x)dx~,~~\forall x \in [a,b]$

Теорема о почленном интегрировании.

$\ \forall k:$ функция $\ {u_k}(x)$ непрерывна на отрезке $\ [a, b]$

$\ \sum_{k=1}^{\infty}{u_k}(x)\rightrightarrows S(x)$ на $\ [a, b]$

Тогда $\ \sum_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a}^{x} {u_k}(x)dx \rightrightarrows \int\limits_{a}^{x} S(x)dx~,~~\forall x \in [a,b]$

Теоремы о дифференцировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о дифференцировании под пределом.

$\ \forall k:$ функция $\ {u_k}(x)$ непрерывна дифференцируема на отрезке $\ [a, b]$

$\ \exist c\in [a, b]:~u_k(c)$ сходится

$\ {u'_k}(x)\rightrightarrows \omega(x)$ на отрезке $\ [a, b]$

Тогда $\ \exist u(x):~{u_k}(x)\rightrightarrows u(x),~u(x)$ - непрерывно дифференцируема на $\ [a, b]$ , $\ u'(x)=\omega(x)$ на $\ [a, b]$

Теорема о почленном дифференцировании.

$\ \forall k:$ функция $\ {u_k}(x)$ непрерывно дифференцируема на отрезке $\ [a, b]$

$\ \exist c\in [a, b]:~ \sum_{k=1}^{\infty} u_k(c)$ сходится

$\ \sum_{k=1}^{\infty}{u'_k}(x)$ равномерно сходится на отрезке $\ [a, b]$

Тогда $\ \exist S(x):~\sum_{k=1}^{\infty}{u_k}(x)\rightrightarrows S(x),~S(x)$ - непрерывно дифференцируема на $\ [a, b]$ , $\ S'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}{u'_k}(x)$ на $\ [a, b]$

Ссылки

О.В.Бесов Лекции по математическому анализу Ч. 1. — М.: МФТИ, 2004. — 327 с. Глава 16 Функциональные последовательности и ряды

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное

Смотреть что такое "Функциональная последовательность" в других словарях:

функциональная структура системы управления техническими средствами корабля — функциональная структура СУ ТС Структура, отображающая состав управляющих, информационных и вспомогательных функций системы управления и связей между ними, описывающих порядок и последовательность выполнения функций при решении задач управления… … Справочник технического переводчика
функциональная геномика — Исследования, направленные на поиск признаков или функций, обусловленных в основном экспрессией белков, которые придает организму данная генетическая последовательность [http://www.dunwoodypress.com/148/PDF/Biotech Eng Rus.pdf] Тематики… … Справочник технического переводчика
функциональная структура — 3.3.8.1. функциональная структура , формально описывающая энергетические и информационные связи между компонентами изделия (обычное представление блок схема); Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Функциональная структура системы управления техническими средствами корабля — 17. Функциональная структура системы управления техническими средствами корабля Функциональная структура СУ ТС Структура, отображающая состав управляющих, информационных и вспомогательных функций системы управления и связей между ними,… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Фунциональная последовательность — Содержание 1 Функциональная последовательность 1.1 Поточечная сходимость 1.2 Равномерная сходимость … Википедия
ГОСТ Р 53195.1-2008: Безопасность функциональная связанных с безопасностью зданий и сооружений систем. Часть 1. Основные положения — Терминология ГОСТ Р 53195.1 2008: Безопасность функциональная связанных с безопасностью зданий и сооружений систем. Часть 1. Основные положения оригинал документа: 3.1 антропогенная опасность: Опасность, исходящая от людей, вызванная их… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
ГОСТ Р МЭК 61508-4-2007: Функциональная безопасность систем электрических, электронных, программируемых электронных, связанных с безопасностью. Часть 4. Термины и определения — Терминология ГОСТ Р МЭК 61508 4 2007: Функциональная безопасность систем электрических, электронных, программируемых электронных, связанных с безопасностью. Часть 4. Термины и определения оригинал документа: 3.7.4 анализ влияния (impact analysis) … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Категория диалогичности функциональная семантико-стилистическая — – одна из разновидностей текстовых категорий, представляющих собой систему разноуровневых языковых средств (включая текстовые), объединенных на текстовой плоскости общей функцией выражения диалогичности (см.); структурируется на основе полевого… … Стилистический энциклопедический словарь русского языка
ГОСТ Р 53195.4-2010: Безопасность функциональная связанных с безопасностью зданий и сооружений систем. Часть 4. Требования к программному обеспечению — Терминология ГОСТ Р 53195.4 2010: Безопасность функциональная связанных с безопасностью зданий и сооружений систем. Часть 4. Требования к программному обеспечению оригинал документа: 3.1 анимация (animation): Имитация работы программного… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
модель системы функциональная — Модель системы, отражающая последовательность во времени отдельных операций процесса, совокупность которых обеспечивает получение заданного результата [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя СССР)] EN functional… … Справочник технического переводчика

Словари и энциклопедии на Академике

Функциональная последовательность

Содержание