Вписанная окружность

Вписанная окружность
Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Содержание

В многоугольнике

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

  • Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру
r=\frac{S}{p}

В треугольнике

Свойства вписанной окружности:

  • В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
  • Центр O вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
  • Радиус вписанной в треугольник окружности равен
r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}
  • Если AB — основание равнобедренного \triangle ABC, то окружность, касающаяся сторон \angle ACB в точках A и B, проходит через точку О.
  • Формула Эйлера: R^2-2Rr=|OI|^2, где R — радиус описанной вокруг треугольника окружности, r — радиус вписанной в него окружности, O — центр описанной окружности, I — центр вписанной окружности.
  • Если прямая, проходящая через точку О параллельно стороне AB, пересекает стороны BC и CA в точках A1 и B1, то A_1B_1=A_1B+AB_1.
  • Точки касания вписанной в треугольник T окружности соединены отрезками — получается треугольник T1
  • Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен \frac{a+b-c}{2}.
  • Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны равно d=\frac{a+b-c}{2}=p-c.
  • Расстояние от вершины C до центра вписаной окружности равно l_c=\frac{r}{\sin(\frac{\gamma}{2})}, где r — радиус вписаной окружности, а γ — угол вершины C.
  • Расстояние от вершины C до центра вписаной окружности может так же быть найдено по формуле l_c = \sqrt{(p-c)^2 + r^2}
  • Теорема о трезубце или о трилистнике: Если W — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью, а I — центр вписанной окружности, то |WI|=|WB|=|WC|.
  • Лемма Вертера[источник не указан 385 дней]: пусть окружность V касается сторон AB, AC и дуги BC описанной окружности треугольника ABC. Тогда точки касания окружности V со сторонами и центр вписанной окружности треугольника ABC лежат на одной прямой. Это утверждение — частный случай леммы Накаямы[источник не указан 385 дней].

В четырёхугольнике

Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.

В выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD.

Во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения противоположных сторон четырёхугольника. Эта прямая называется прямой Гаусса. Центр вписанной в четырёхугольник окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).

В сферическом треугольнике

Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.

  • Тангенс радиуса[1] вписанной в сферический треугольник окружности равен[2]:73-74
\operatorname{tg}r=\sqrt{\frac{\sin (p-a)\sin (p-b)\sin (p-c)}{\sin p}}\,
  • Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника[2]:20-21.

См. также

Примечания

  1. ↑ Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведенного из центра сферы через центр окружности, со сферой и точку касания окружностью стороны треугольника.
  2. ↑ 1 2 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

Литература

  • Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 89. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Вписанная окружность" в других словарях:

  • Окружность — и её центр Окружность  геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное неотрицательное расстояние, называемое её радиусом. Содержание …   Википедия

  • Вневписанная окружность — Вписанная (с центром I) и 3 вневписанные (с центрами в J) окружности в Вневписанная …   Википедия

  • Описанная окружность — многоугольника  окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принят …   Википедия

  • прилегающая окружность — Окружность минимального диаметра, описанная вокруг реального профиля наружной поверхности вращения, или окружность максимального диаметра, вписанная в реальный профиль внутренней поверхности вращения. Примечание В тех случаях, когда расположение… …   Справочник технического переводчика

  • Пирибола — Окружность и её центр Окружность  геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой её центром. В Викисловаре есть статья «окружность» Вписанная окружность Описанная окружность Окружность Аполлония Единичная… …   Википедия

  • Полуокружность — Окружность и её центр Окружность  геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой её центром. В Викисловаре есть статья «окружность» Вписанная окружность Описанная окружность Окружность Аполлония Единичная… …   Википедия

  • Хорда окружности — Окружность и её центр Окружность  геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой её центром. В Викисловаре есть статья «окружность» Вписанная окружность Описанная окружность Окружность Аполлония Единичная… …   Википедия

  • Центральный угол — Окружность и её центр Окружность  геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой её центром. В Викисловаре есть статья «окружность» Вписанная окружность Описанная окружность Окружность Аполлония Единичная… …   Википедия

  • Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве)  это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… …   Википедия

  • Вписанные и описанные фигуры —         в элементарной геометрии. Многоугольник называется вписанным в выпуклую кривую, а кривая описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на кривой (рис. 1). Многоугольник называется описанным вокруг кривой, а кривая… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»