Определитель Вандермонда

Определителем Вандермонда называется определитель

$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & \ldots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & \ldots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_n & \ldots & x_n^{n-1} \\ \end{vmatrix} \ \ = \prod_{1 \leq j<i \leq n}\! (x_i-x_j),$

названный в честь французского математика Александра Теофила Вандермонда. ^[1]

Доказательство

Индукция по размеру матрицы $m$ .

База

$m=2$ . В данном случае матрица представляет собой

$V_2 = \begin{bmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \\ \end{bmatrix}$

Очевидно, её определитель равен $x_2-x_1$ .

Индукционное предположение

$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{m-2} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{m-2} \\ . & . & . & . & . \\ 1 & x_{m-1} & x_{m-1}^2 & \dots & x_{m-1}^{m-2} \\ \end{vmatrix} = \prod\limits_{1\leqslant i<j\leqslant m-1}(x_j - x_i)$

Индукционный переход

$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{m-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{m-1} \\ . & . & . & . & . \\ 1 & x_{m} & x_{m}^2 & \dots & x_{m}^{m-1} \\ \end{vmatrix}$

Вычтем из последнего столбца предпоследний, уможенный на $x_1$ , из $m-2$ -го — $m-3$ -й, уможенный на $x_1$ , из $i$ -го — $i-1$ -й, уможенный на $x_1$ и так далее для всех стобцов. Эти преобразования не меняют определитель матрицы. Получим

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & x_2-x_1 & x_2(x_2-x_1) & \dots & x_2^{m-2}(x_2-x_1) \\ . & . & . & . & . \\ 1 & x_{m}-x_1 & x_{m}(x_{m}-x_1) & \dots & x_{m}^{m-2}(x_{m}-x_1) \\ \end{vmatrix}$

Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, получаем, что он равен следующему определителю:

$\begin{vmatrix} x_2-x_1 & x_2(x_2-x_1) & \dots & x_2^{m-2}(x_2-x_1) \\ . & . & . & . \\ x_{m}-x_1 & x_{m}(x_{m}-x_1) & \dots & x_{m}^{m-2}(x_{m}-x_1) \\ \end{vmatrix}$

Для всех $i$ от 1 до $m-1$ вынесем из $i$ -й строки множитель $x_{i+1}-x_1$ . Получим

$(x_2-x_1)(x_3-x_1) \dots (x_{m}-x_1) \begin{vmatrix} 1 & x_2 & \dots & x_2^{m-2} \\ . & . & . & . \\ 1 & x_{m} & \dots & x_{m}^{m-2} \\ \end{vmatrix}$

Подставим значение имеющегося в предыдущей формуле значение определителя, известного из индукционного предположения:

$(x_2-x_1)(x_3-x_1) \dots (x_{m}-x_1) \prod\limits_{2\leqslant i<j \leqslant m}(x_{j}-x_{i}) = \prod\limits_{1\leqslant i<j\leqslant m}(x_j - x_i)$ ■

Данная формула показывает, что определитель Вандермонда равен нулю тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна пара $\left(x_i, x_j \right)$ такая, что $x_i=x_j, i \neq j$ .

Определитель Вандермонда имеет многочисленные применения в разных областях математики. Например, при решении задачи интерполяции многочленами, т.е. задачи о нахождении многочлена степени $n-1$ , график которого проходит через $n$ заданных точек плоскости с абсциссами $x_1, \ldots, x_{n}$ , определитель Вандермонда возникает как определитель системы линейных уравнений, из которой находятся неизвестные коэффициенты искомого многочлена.^[2]

Матрица Вандермонда представляет собой частный случай альтернативной матрицы, в которой $f_i(\alpha)=\alpha^{i-1}$ .

Литература

Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука 1968.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — М.: Наука — Физматлит, 1999.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Примечания

↑ Alexandre-Théophile Vandermonde (рус.).
↑ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. II, пар. 4, — Физматлит, Москва, 2009.

Категории:

Линейная алгебра
Определители

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное

Смотреть что такое "Определитель Вандермонда" в других словарях:

Определитель — У этого термина существуют и другие значения, см. Определитель (значения). Определитель (или детерминант) одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у … Википедия
Определитель матрицы — Определитель (или детерминант) одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (т.е. такой, у которой количество строк и столбцов равны). В общем случае матрица может быть… … Википедия
ВАНДЕРМОНДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ — определитель порядка n вида: где элементы нек рого коммутативного кольца. При любом Для колец без делителей нуля имеет место основное свойство В. о.: тогда и только тогда, когда среди элементов не все элементы различны. В. о. был рассмотрен… … Математическая энциклопедия
Определитель — детерминант, особого рода математическое выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана Матрица порядка n, т. е. квадратная таблица, составленная из п2 элементов (чисел, функций и т. п.): (каждый… … Большая советская энциклопедия
Матрица Вандермонда — Матрицей Вандермонда Vm называется квадратная матрица следующего вида: , где элементы произвол … Википедия
Вандермонд, Александр Теофил — Alexandre Théophile Vandermonde Дата рождения: 28 февраля 1735(1735 02 28) Место рождения: Париж Дата смерти … Википедия
Вандермонд — Вандермонд, Александр Теофил Вандермонд, Александр Теофил Alexandre Théophile Vandermonde Дата рождения: 23 февраля 1735(1735 02 23) Место рождения: Париж Дата смерти … Википедия
Вандермонд Александр Теофил — Александр Теофил Вандермонд (фр. Alexandre Théophile Vandermonde) (23 февраля 1735 1 января 1796) французский музыкант и математик, член Парижской академии наук. Известен главным образом благодаря работами по высшей алгебре, особенно по теории… … Википедия
Вандермонд, Александр — Александр Теофил Вандермонд (фр. Alexandre Théophile Vandermonde) (23 февраля 1735 1 января 1796) французский музыкант и математик, член Парижской академии наук. Известен главным образом благодаря работами по высшей алгебре, особенно по теории… … Википедия
ФРОБЕНИУСА ФОРМУЛА — формула, выражающая отношение обобщенного определителя Вандермонда к обычному (см. Вандермонда определитель )через степенные суммы. В качестве коэффициентов в Ф. ф. участвуют характеры представлений симметрической группы. Пусть x1, ..., х п… … Математическая энциклопедия

Словари и энциклопедии на Академике

Определитель Вандермонда

Содержание

База

Индукционное предположение

Индукционный переход

Литература

Примечания

Полезное

Смотреть что такое "Определитель Вандермонда" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Словари и энциклопедии на Академике

Википедия

Определитель Вандермонда

Содержание

База

Индукционное предположение

Индукционный переход

Литература

Примечания

Полезное

Смотреть что такое "Определитель Вандермонда" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка: