Вложенные радикалы

Толкование

Вложенные радикалы

В алгебре, вложенным радикалом называется радикал содержащий другой радикал. Например

$\sqrt{5-2\sqrt{5}\ }$

или более сложный пример

$\sqrt[3]{2+\sqrt{3}+\sqrt[3]{4}\ }.$

Содержание

1 Упрощение вложенных радикалов
2 Бесконечно вложенные радикалы
3 Ссылки

Упрощение вложенных радикалов

Некоторые вложенные радикалы могут быть упрощены. Например:

$\sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}\,,$

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}} \,.$

В общем случае, упрощение является сложной проблемой, если оно вообще возможно.

Бесконечно вложенные радикалы

Общие положения

В некоторых случаях бесконечно вложенные радикалы могут быть тождественны некоторому рациональному числу, например выражение

$x = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}$

равно 2. Для того чтобы это увидеть, возведем обе части выражения в квадрат и отнимем 2:

$x^2 - 2 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}} = x$ ;

$x^2 - x - 2 = 0$ ;

$x_1 = 2, x_2 = -1$ .

Очевидно, что $-1$ не может являться значением исходного радикала. В общем случае:

$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\cdots}}}} = \frac{1 + \sqrt {1+4a}}{2}$

Тривиальные случаи

Для квадратного корня:

$\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{\cdots}}}}} = \frac{b + \sqrt {b^2+4a}}{2}$ ;
Для корня степени $n$

$\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{\cdots}}}}} = x,$

где $x$ является решением уравнения $x^n - b x - a = 0$ .

Нетривиальные случаи

Формула Рамануджана:

$x + n + a = \sqrt{a x + (n + a)^2 + x \sqrt{a(x + n) + (n + a)^2 + (x + n)\sqrt{a(x + 2n) + (n + a)^2 + (x + 2n)\sqrt{\cdots}}}}$

Частные случаи

$\phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\cdots}}}}$

$\frac{2}{\pi} = \sqrt\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt\frac{1}{2}}} \cdots$

Ссылки

Weisstein, Eric W. Вложенные радикалы (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Квадратный корень (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots (англ.)
Simplifying Square Roots of Square Roots (англ.)

Для улучшения этой статьи желательно^?:

Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.
Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).
Викифицировать статью.

Категория:

Алгебра

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное

Смотреть что такое "Вложенные радикалы" в других словарях:

Квадратный корень — У этого термина существуют и другие значения, см. Корень (значения). Квадратный корень из (корень 2 й степени) это решение уравнения вида . Наиболее часто под и подразумеваются числа, но в некоторых приложениях они могут быть и другими… … Википедия
Шрифты, поддерживающие юникод — Юникод Шрифт графический рисунок начертаний букв, знаков, иероглифов которые заключены в стандарте кодирования символов, позволяющие представить знаки многих письменных языков мира. В Юникод шрифте может быть заключён как один блок символов … Википедия
Символы, представленные в Юникоде — В Юникоде зарезервировано 1 112 064 (= 220 + 216 − 211) позиций символов, из которых сейчас используется свыше 100 000. Первые 256 знакомест совпадают с кодовой таблицей ISO 8859 1 («Латиница 1»). Кодовое… … Википедия
Представленные в Юникоде Символы — В Юникоде зарезервировано 1 114 112 (= 220 + 216) позиций символов, из которых сейчас используется свыше 100 000. Первые 256 знакомест совпадают с кодовой таблицей ISO 8859 1 («Латиница 1»). Кодовое пространство разделено на 17 «плоскостей» по… … Википедия
Швеция — I Расположение, границы, пространство. Королевство Ш. занимает большую, восточную часть Скандинавского полуострова, западную часть которого занимает соединенное с Ш. личной унией королевство Норвегия. Площадь обоих государств вместе равняется… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Словари и энциклопедии на Академике

Вложенные радикалы

Содержание

Упрощение вложенных радикалов