Ядро Фейера

Ядро Фейера

В математике, ядро Фейера используется для суммирования по Чезаро рядов Фурье. Функция задается следующей формулой:

\Phi_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}D_k(x),

где D_k(x) это ядро Дирихле.


Также это может быть записано в сокращенной форме:

\Phi_{n}(x) = \frac{1}{2n} \left(\frac{\sin \frac{n x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)^2,

названо в честь известного венгерского математика Липота Фейера (1880 — 1959).

Содержание

Соотношение с рядом Фурье

Пусть f(x) — интегрируема на [-\pi, \pi] и 2\pi-периодическая, тогда \forall x \in \mathbb{R}~\forall n \in \mathbb{N}

\sigma_n(f;x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x-u)\Phi_n(u)du = \int\limits_{0}^{\pi}(f(x-u)+f(x+u))\Phi_n(u)du

Теорема (Фейера)

Пусть f(x) — непрерывная, 2 \pi периодическая функция, тогда \forall x \in \mathbb{R}

\sigma_n(x)\rightrightarrows f(x),

где \rightrightarrows — это обозначение равномерной сходимости функции, а \sigma_n(x) обозначает среднее арифметическое частичных сумм ряда Фурье: \sigma_n(x) = \frac{1}{n} \sum\limits_{k=0}^{n-1}{S_k(x)}, называемое также суммой Фейера порядка n.

Свойства ядра Фейера

  • \Phi_n(x) — положительная, 2\pi-периодическая, чётная функция
  • \forall n \in \mathbb{N}~\int\limits_{-\pi}^{\pi}\Phi_n(u)du = 1
  • Для любого фиксированного \delta > 0 : \int\limits_{\delta}^{\pi}\Phi_n(u)du \rightarrow 0, \int\limits_{-\pi}^{-\delta}\Phi_n(u)du \rightarrow 0, n \rightarrow \infty

См. также


Формула

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Ядро Фейера" в других словарях:

  • Ядро Дирихле — Ядро Дирихле  периодическая функция, задаваемая следующей формулой: Функция названа в честь французско немецкого математика Дирихле. Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму тригонометрического ряда Фурье. Это… …   Википедия

  • Ядро Джексона — Ядром Джексона в теории приближений называется периодическая функция, задающаяся формулой: Названо именем учёного, занимавшегося теорией приближений и тригонометрических полиномов – Данхэма Джексона (англ. Dunham Jackson). Данная функция… …   Википедия

  • ФЕЙЕРА СИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ — интеграл вида где ядро Фейера. Ф …   Математическая энциклопедия

  • ЯДРО — метода суммирования функция Kn(t)(зависящая от параметра), значения к рой есть средние данного метода, примененного к ряду Я. метода суммирования служит для интегрального представления средних этого метода при суммировании рядов Фурье. Так, если… …   Математическая энциклопедия

  • Фейер, Липот — Липот Фейер (также Леопольд Фейер, венг. Fejér Lipót или нем. Leopold Fejér, настоящая фамилия Вайс, нем. Weiss; 9 февраля 1880(18800209), Печ  15 октября 1959, Будапешт)  венгерский математик. Окончил Будапештский… …   Википедия

  • СИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ — интеграл с особенностью в точке х, определенный для интегрируемой на [a, b]функции f(x), ядро к рого Ф n(t, х).удовлетворяет условиям: для любого d>0 и произвольного интервала и причем Ф x(d) зависит только от d и хи не зависит от п. Если… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»