Теорема Каулинга

Теорема Каулинга

Теорема Каулинга — теорема о невозможности стационарного осесимметричного МГД-динамо. Другими словами, двумерные или осесимметричные поля скорости проводящей жидкости не могут генерировать постоянно растущее магнитное поле.

Содержание

Формулировка теоремы

Стационарное осесимметричное динамо невозможно.

Плоский случай

Дипольное поле

В осесимметричном поле существует линия O-типа (нейтральная), на этой линии поле = 0.

B=\frac{1}{r^3}

Пусть поле линейно растет с увеличением R

(\mathrm{rot}\vec B)_{\varphi}=\frac{ \partial B_{r}}{ \partial z} - \frac{ \partial B_{z}}{ \partial r}\neq 0,\ \vec j_{\varphi}\neq 0
\oint\limits_O \vec j_{\varphi} \,\vec{dl} =2\pi R \vec j_{\varphi}\neq 0
\oint\limits_O \vec j_{\varphi} \,\vec{dl} =\sigma\oint\limits_O \left[\vec E+\frac{\vec v \times \vec B}{c}\right] \,\vec{dl}

Пусть \left[\vec v \times \vec B\right]\neq 0, тогда v_zB_\varphi-v_\varphi B_z\neq 0, но на линии O и v_\varphi, и B_z равны нулю, следовательно, наше предположение неверно, то есть \left[\vec v \times \vec B\right]= 0. Тогда имеем

\oint\limits_O \vec j_{\varphi} \,\vec{dl} =\sigma\oint\limits_O \vec E\,\vec{dl} = \sigma\int\mathrm{rot}\vec E\,\vec{ds}=-\frac\sigma c \int\frac{\partial\vec B}{\partial t}\,\vec{ds}=-\frac\sigma c \frac{d\Phi}{dt}

где введено обозначение для потока магнитного поля через контур:

\Phi = \int\limits_0^R 2\pi rB_z\,dr

Таким образом, имеем неравенство

\frac{d\Phi}{dt}\neq 0

то есть поток нестационарен, что противоречит определению линии О, откуда можно сделать вывод, что первоначальное предположение неверно, и в дипольном поле существование динамо невозможно.

Тороидальное поле

Рассмотрим тороидальное магнитное поле

B_\varphi\neq 0
\frac d{dt}\left(\frac{B_\varphi}{r\rho}\right)=\frac{c^2}{4\pi\sigma\rho r}\left\{\frac{\partial}{\partial r}\left[\frac 1 r \frac{\partial}{\partial r}\left(rB_\varphi\right)\right]+\frac{\partial^2B_\varphi}{\partial z^2}\right\}

где

\frac{c^2}{4\pi\sigma\rho r}  — коэффициент диффузии.

Сравнивая с уравнением диффузии понимаем, что динамо невозможно.

Существующие динамо

Если условия теоремы не выполняются (то есть поле скорости трёхмерно), то возможна генерация магнитного поля. Существуют многочисленные аналитические и экспериментальные примеры:

  • Динамо Пономаренко — винтовое динамо.
  • ABC-динамо
  • Динамо Гайлитиса — первый успешный динамо-эксперимент.

См. также


Наиболее известная формула из ОТО — закон сохранения энергии-массы
Wiki letter w.svg
 Для улучшения этой статьи желательно?:
  • Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей.
  • Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).
  • Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
  • Викифицировать статью.
  • Проставить интервики в рамках проекта Интервики.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Теорема Каулинга" в других словарях:

  • Число Каулинга — ( )  критерий подобия в магнитной гидродинамике, равный отношению магнитной силы к инерционной. Оно определяется следующим образом (первое число Каулинга): , где:   электропроводность;   индукция магнитного поля; …   Википедия

  • Пи-теорема — Π теорема (пи теорема) основополагающая теорема анализа размерностей. Теорема утверждает, что если имеется зависимость между физическими величинами, не меняющая своего вида при изменении масштабов единиц в некотором классе систем единиц, то она… …   Википедия

  • Π-теорема — основополагающая теорема анализа размерностей. Теорема утверждает, что если имеется физически значимое выражение, включающее в себя n физических переменных, и эти переменные описываются при помощи k независимых фундаментальных физических величин …   Википедия

  • П-теорема — π теорема основополагающая теорема анализа размерностей. Теорема утверждает, что если имеется физически значимое выражение, включающее в себя n физических переменных, и эти переменные описываются при помощи k независимых фундаментальных… …   Википедия

  • Пи теорема — π теорема основополагающая теорема анализа размерностей. Теорема утверждает, что если имеется физически значимое выражение, включающее в себя n физических переменных, и эти переменные описываются при помощи k независимых фундаментальных… …   Википедия

  • МАГНИТНЫЕ ВАРИАЦИИ — изменения во времени геомагн. поля, обусловленные существованием как внутренних, так и внешних по отношению к поверхности Земли источников магн. поля. М. в. с характерными временами от 10 до тыс. лет, обусловленные процессами в жидком ядре Земли… …   Физическая энциклопедия

  • Магнитное динамо — Гидромагнитное (или магнитогидродинамическое, или просто МГД ) динамо (динамо эффект)  эффект самогенерации магнитного поля при определённом движении проводящей жидкости. Содержание 1 Теория 2 Приложения 2.1 Ге …   Википедия

  • Солнечное динамо — …   Википедия

  • Число Альфвена — ( )  критерий подобия в магнитной гидродинамике, равный отношению магнитной энергии к кинетической. Оно определяется одним из следующих способов: или где магнитная проницаемость; …   Википедия

  • Критерий подобия — Критерий подобия  безразмерная величина, составленная из размерных физических параметров, определяющих рассматриваемое физическое явление. Равенство всех однотипных критериев подобия для двух физических явлений и систем  необходимое и… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»