Дифференциалы высших порядков

Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции ~z  в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

~d^nz= d(d^{n-1}z)  .

Содержание

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной ~z = f(x)  второй и третий дифференциалы выглядят так:

~d^2z = d(dz) = d(z'dx) = dz'dx = (z''dx)dx = z''dx^2
~d^3z = d(d^2z) = d(z''dx^2) = dz''dx^2 = (z'''dx)dx^2 = z'''dx^3

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции ~z = f(x) :

~d^nz = z^{(n)}dx^n

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что ~dx есть произвольное и не зависящее от ~x , которое при дифференцировании по ~x  следует рассматривать как постоянный множитель.

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция ~z = f(x,y)  имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: ~d^2z= d(dz).

d^2z = d(\frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy) = (\frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy)'_xdx+ (\frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy)'_ydy =
= (\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}dx + \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}dy)dx + (\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}dx + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}dy)dy
d^2z = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}dx^2 + 2\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}dxdy + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}dy^2
d^2z = (\frac{\partial}{\partial x}dx+\frac{\partial}{\partial y}dy)^2z

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции ~z = f(x_1,...,x_n) выглядит следующим образом:

d^nz = (\frac{\partial}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial}{\partial x_2}dx_2+ ... +\frac{\partial}{\partial x_n}dx_n)^nz

где ~z = f(x_1,x_2,...x_n), а  ~dx_1,...,dx_n произвольные приращения независимых переменных ~x_1,...,x_n.
Приращения ~dx_1,...,dx_n  рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

При  n\geqslant 2 , ~n-й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение ~d^nf зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная ~x как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, x = \varphi(t).

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При n = 2 и  ~y = f(x) = x^3 :

  • если  ~x — независимая переменная, то  ~d^2y = d^2f(x) = (x^3)''(dx)^2 = 6x(dx)^2
  • если  ~x = \varphi(t) = t^2  и  ~dx = d\varphi(t) = \varphi'(t)dt = 2tdt
    1. ~6x(dx)^2 = 6t^2(2tdt)^2 = \color{BrickRed}{24t^4(dt)^2}
    2. при этом,  ~y = x^3 = (t^2)^3 = t^6  и  ~d^2y = (t^6)''(dt)^2 = \color{BrickRed}{30t^4(dt)^2}

С учётом зависимости ~x = t^2, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Дополнения

  • С помощью дифференциалов, функция ~F  при условии существования её (n + 1) первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:
  • для функции с одной переменной:
~\mathcal{4}F(x_0) = dF(x_0)+\frac{d^2F(x_0)}{2!}+...+\frac{d^nF(x_0)}{n!}+\frac{d^{n+1}F(x_0+\theta\mathcal{4}x)}{n+1!}  ,  ~(0<\theta<1);
  • для функции с несколькими переменными:
~\mathcal{4}F(x_0,y_0) = dF(x_0,y_0)+\frac{d^2F(x_0,y_0)}{2!}+...+\frac{d^nF(x_0,y_0)}{n!}+\frac{d^{n+1}F(x_0+\theta\mathcal{4}x,y_0+\theta\mathcal{4}y)}{n+1!}  ,  ~(0<\theta<1)
  • Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции ~f(x_1,...,x_n)  явлется положительно определённым (отрицательно определенным), то точка ~(x_1,...,x_n)  является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции ~f(x_1,...,x_n)  является неопределённым, то в точке ~(x_1,...,x_n)  нет экстремума.

Литература

  • Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1


Wiki letter w.svg
 Для улучшения этой статьи по математике желательно?:
  • Проставить интервики в рамках проекта Интервики.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Дифференциалы высших порядков" в других словарях:

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в к ром изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Развитие Д. и. тесно связано с развитием интегрального исчисления. Неразрывно и их содержание. Вместе они составляют основу… …   Математическая энциклопедия

  • Дифференциальное исчисление — Исчисление бесконечно малых, включающее так называемое Д. исчисление, а также ему обратное интегральное, принадлежит к числу наиболее плодотворных открытий человеческого ума и составило эпоху в истории точных наук. Ближайшим поводом к изобретению …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Дифференциальное исчисление —         раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 …   Большая советская энциклопедия

  • Ниевентийт — (Бернард Nieuwentijt) голландский математик (1654 1718), доктор медицины и практический врач. Известен главным образом критикой оснований дифференциального исчисления, как они были представлены в сочин. Лейбница, братьев Бернулли и Лопиталя.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Дифференциал (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Дифференциал (значения). Дифференциал (от лат. differentia разность, различие) линейная часть приращения функции. Содержание 1 Обозначения …   Википедия

  • дифференциальное исчисление — раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций. Производной функции у = f(х) называется предел отношения приращения Δу = у1 – у0 функции к приращению Δх = x1 – х0 аргумента при Δх …   Энциклопедический словарь

  • НЕЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — отображение А векторного (как правило) пространства Xв векторное пространство Yнад общим полем скаляров, не обладающее свойством линейности, т. е. такое, что, вообще говоря, Если есть множество действительных чисел или комплексных чисел , то Н. о …   Математическая энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций. Производной функции y = f(х) называется предел отношения приращения ?y = y1 y0 функции к приращению ?x = x1 x0 аргумента при ?x,… …   Большой Энциклопедический словарь

  • НЕЛИНЕЙНАЯ СВЯЗНОСТЬ — дифференциально геометрическая структура, задаваемая на категории гладких расслоенных пространств, ассоциированных с нек рым главным G расслоением, к рая фиксирует определенный для данной Н. с. изоморфизм слоев (параллельный перенос) вдоль каждой …   Математическая энциклопедия

  • Ньютон, Исаак — У этого термина существуют и другие значения, см. Ньютон. Исаак Ньютон Isaac Newton …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»