Факторпространство по подпространству

Факторпространство по подпространству

Факторпространство по подпространству в линейной алгебре — важный частный случай факторпространств.

Содержание

Определение

Пусть (X,\;\mathbb{F},\;+,\;\cdot) — векторное пространство, а (X_0,\;\mathbb{F},\;+,\;\cdot) — его подпространство. Определим отношение эквивалентности как

x\sim y\Leftrightarrow x-y\in X_0.

Тогда X/\,\overset{}{\sim} называют факторпространством X по X_0 и обозначают X/X_0.

Факторотображение

Отображение \varphi\colon X\mapsto X/X_0, сопоставляющее каждому элементу из X класс эквивалентности, в котором он лежит, называется факторотображением.

Факторотображение даёт возможность определить на X/X_0 векторную структуру, задав операции \langle+,\;\cdot\rangle следующим образом:

  • x_1+x_2=\varphi(\varphi^{-1}(x_1)+\varphi^{-1}(x_2))\qquad\forall x_1,\;x_2\in X/X_0;
  • \lambda x=\varphi(\lambda\varphi^{-1}(x))\qquad\forall x\in X/X_0,\;\lambda\in\mathbb{F}.

Факторотображение на таком пространстве линейно.

Свойства факторотображения:

  1. \varphi\in\mathcal{L}(X,\;X/X_0);
  2. \mathrm{im}\, {\varphi} = X/X_0, то есть \varphi — эпиморфизм;
  3. \ker\varphi=X_0, что эквивалентно \varphi^{-1}(0)=X_0.

Связанные определения

Понятие факторпространства по подпространству позволяет определить:

Сопутствующие теоремы

  • Существование снижения на кообраз:
\forall T\in\mathcal{L}(X,\;Y)\,\exists{!}\,T_c\in\mathcal{L}(\mathrm{coim}\,T,\;Y)\colon T=T_c\varphi,\;\ker T_c=\{0\}.
\mathrm{coim}\,T\simeq\mathrm{im}\,T
X_0,\,X_1 \in\mathrm{Lat}(X): X=X_0\oplus X_1 \Rightarrow X/X_0\simeq X_1;\, X/X_1\simeq X_0
\varphi\in\mathcal{B}(X,\;X/X_0).
Хаусдорфовость полунормированного пространства, как известно, позволяет[уточнить] определить на нём норму, а по норме и метрику.
\forall w\in X/X_0,\;\forall x\in\varphi^{-1}(w)\;p_{X/X_0}(w)\leqslant p(x);
\forall w\in X/X_0,\;\forall\varepsilon>0\;\exists x\in\varphi^{-1}(w)\colon p(x)\leqslant(1+\varepsilon)p_{X/X_0}(w).
  • Лемма о снежинке.

Комментарии

См. также

Литература

  • Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 200. — 336 с. — ISBN 5-86134-074-9.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Факторпространство по подпространству" в других словарях:

  • Факторпространство — Пусть на множестве задано отношение эквивалентности . Тогда множество всех классов эквивалентности называется фактор множеством и обозначается . Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией. Отображение из в… …   Википедия

  • ЯДЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — локально выпуклое пространство, у к рого все линейные непрерывные отображения в каждое банахово пространство являются ядерными операторами. Понятие Я. п. возникло [1] при исследовании вопроса о том, для каких пространств справедливы аналоги… …   Математическая энциклопедия

  • Фактор-отображение — Пусть есть множество X, на котором введено отношение эквивалентности (то есть которое обладает следующими свойствами: каждый элемент множества эквивалентен сам себе; если x эквивалентно y, то y эквивалентно x; если x эквивалентно y, а y… …   Википедия

  • Фактор-пространство — Пусть есть множество X, на котором введено отношение эквивалентности (то есть которое обладает следующими свойствами: каждый элемент множества эквивалентен сам себе; если x эквивалентно y, то y эквивалентно x; если x эквивалентно y, а y… …   Википедия

  • Фактормножество — Пусть есть множество X, на котором введено отношение эквивалентности (то есть которое обладает следующими свойствами: каждый элемент множества эквивалентен сам себе; если x эквивалентно y, то y эквивалентно x; если x эквивалентно y, а y… …   Википедия

  • ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — над топологическим полем (т. п.), К векторное пространство Енад К, наделенное топологией, согласующейся со структурой векторного пространства, т. е. удовлетворяющей следующим аксиомам: 1) отображение непрерывно; 2) отображение непрерывно (при… …   Математическая энциклопедия

  • ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — линейное пространство, над полем К, аддитивно записанная абелева группа Е, в которой определено умножение элементов на скаляры, т. е. отображение удовлетворяющее следующим аксиомам Из аксиом 1) 4) вытекают следующие важные свойства векторного… …   Математическая энциклопедия

  • БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО — В пространство, полное нормированное векторное пространство. Исходными для создания теории Б. п. послужили введенные (в 1904 18) Д. Гильбертом (D. Hilbert), М. Фреше (М. Frechet) и Ф. Рисом (F. Riesz) функциональные пространства. Именно в этих… …   Математическая энциклопедия

  • НОРМА — 1) Отображение векторного пространства Xнад полем действительных или комплексных чисел в совокупность действительных чисел, подчиненное условиям: причем только при x = 0; для каждого скаляра ; для всех (аксиома треугольника). При этом число и наз …   Математическая энциклопедия

  • ФРЕШЕ ПРОСТРАНСТВО — полное метризуемое локально выпуклое топологическое векторное пространство. Банаховы пространства доставляют примеры Ф. п., однако многие важные функциональные пространства являются Ф. п., не являясь вместе с тем банаховыми. IV числу таковых… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»