Формула Валлиса

Формула Валлиса

В 1655 году Джон Валлис предложил формулу для определения числа \pi:

\frac {\pi}{2}\, = \,\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} \,= \, \frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdot \frac{10}{9}\cdot \frac{10}{11}

Дж. Валлис пришёл к ней, вычисляя площадь круга. Это произведение сходится крайне медленно, поэтому для практического вычисления числа \pi \, формула Валлиса мало пригодна. Однако она полезна в различных теоретических исследованиях, например при выводе формулы Стирлинга. Исторически формула Валлиса имела значение как один из первых примеров бесконечных произведений. Тем не менее, если в этой формуле слегка откорректировать концовку:

\pi\, \approx \,[ \, \prod_{n=1}^{m-1}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} \, ] \, \cdot \, [ \, \frac {2m}{2m-1} \cdot ( \frac {2m}{2m+1} \cdot \frac {1}{4}+1)+ \frac {3}{4} \, ] \,= \, \frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot [ \, \frac{8}{7}\cdot ( \frac{8}{9}\cdot \frac {1}{4}+1) + \frac {3}{4} \, ]

то скорость сходимости возрастет примерно на пять порядков.-->

Доказательство пользуясь бесконечным произведением Эйлера функции синуса [1]

\frac{\sin x}{x} = \prod_{n=1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)

Пусть x = π/2:

\Rightarrow\frac{2}{\pi}=\prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{4n^2}\right)
\begin{align} \Rightarrow\frac{\pi}{2} &{}= \prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4n^2}{4n^2 - 1}\right) \\ &{}= \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots \end{align}

Примечания

  1. ↑ Wallis Formula.

Ссылки

Шаблон:En-translate

Формула

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Формула Валлиса" в других словарях:

  • ВАЛЛИСА ФОРМУЛА — формула, выражающая число в виде бесконечного произведения: Существуют другие варианты этой формулы, напр. Формула (*) впервые встречается у Дж. Валлиса [1] в его вычислениях площади круга; В. ф. один из первых примеров бесконечного произведения …   Математическая энциклопедия

  • Валлиса формула —         формула, выражающая число                   в виде бесконечного произведения (См. Бесконечное произведение), именно:                   Для непосредственного вычисления π В. ф. мало пригодна, но полезна в различных теоретических… …   Большая советская энциклопедия

  • Валлис, Джон — У этого термина существуют и другие значения, см. Валлис. Джон Валлис англ. John Wallis …   Википедия

  • Пи (число) — У этого термина существуют и другие значения, см. Пи (значения). Иррациональные числа γ ζ(3)  √2  √3  √5  φ  α  e  π  δ Система счисления Оценка числа …   Википедия

  • Валлис Д. — Джон Валлис Джон Валлис (John Wallis; 23 ноября (3 декабря) 1616  28 октября (8 ноября) 1703)  английский математик, один из предшественников математического анализа. Валлис  сын священника из Кента. Уже в молодости вызывал восхищение как… …   Википедия

  • Валлис Джон — Джон Валлис Джон Валлис (John Wallis; 23 ноября (3 декабря) 1616  28 октября (8 ноября) 1703)  английский математик, один из предшественников математического анализа. Валлис  сын священника из Кента. Уже в молодости вызывал восхищение как… …   Википедия

  • Джон Валлис — (John Wallis; 23 ноября (3 декабря) 1616  28 октября (8 ноября) 1703)  английский математик, один из предшественников математического анализа. Валлис  сын священника из Кента. Уже в молодости вызывал восхищение как феноменальный счётчик: как то в …   Википедия

  • Джон Уоллис — Джон Валлис Джон Валлис (John Wallis; 23 ноября (3 декабря) 1616  28 октября (8 ноября) 1703)  английский математик, один из предшественников математического анализа. Валлис  сын священника из Кента. Уже в молодости вызывал восхищение как… …   Википедия

  • Уоллис, Джон — Джон Валлис Джон Валлис (John Wallis; 23 ноября (3 декабря) 1616  28 октября (8 ноября) 1703)  английский математик, один из предшественников математического анализа. Валлис  сын священника из Кента. Уже в молодости вызывал восхищение как… …   Википедия

  • Число π — Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности  это число «пи». Число π (произносится «пи»)  математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи».… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»