Теорема Тонелли — Фубини

Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

Содержание

1 Формулировка
2 Частные случаи
- 2.1 Теория вероятностей
- 2.2 Математический анализ
  - 2.2.1 Доказательство
3 См. также
4 Литература

Формулировка

Пусть даны два пространства с $σ$ -конечными мерами $(X_i,\;\mathcal{F}_i,\;\mu_i),\;i=1,\;2$ . Обозначим через $(X_1\times X_2,\;\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2,\;\mu_1\otimes\mu_2)$ их произведение. Пусть функция $f\colon X_1\times X_2\to\R$ интегрируема относительно меры $\mu_1\otimes\mu_2$ . Тогда

функция $x_1\to\int\limits_{X_2}f(x_1,\;x_2)\,\mu_2(dx_2)$ определена и интегрируема относительно $μ 1$ ;
функция $x_2\to\int\limits_{X_1}f(x_1,\;x_2)\,\mu_1(dx_1)$ определена и интегрируема относительно $μ 2$ ;
имеют место равенства

$\iint\limits_{X_1\times X_2}f(x_1,\;x_2)\,\mu_1\otimes\mu_2(dx_1\,dx_2)=\int\limits_{X_1}\left[\;\,\int\limits_{X_2}f(x_1,\;x_2)\,\mu_2(dx_2)\right]\,\mu_1(dx_1)$

$\iint\limits_{X_1\times X_2}f(x_1,\;x_2)\,\mu_1\otimes\mu_2(dx_1\,dx_2)=\int\limits_{X_2}\left[\;\,\int\limits_{X_1}f(x_1,\;x_2)\,\mu_1(dx_1)\right]\,\mu_2(dx_2).$

Частные случаи

Теория вероятностей

Пусть $(\Omega_i,\;\mathcal{F}_i,\;\mathbb{P}_i),\;i=1,\;2$ — вероятностные пространства, и $X\colon\Omega_1\times\Omega_2\to\R$ — случайная величина на $(\Omega_1\times\Omega_2,\;\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2,\;\mathbb{P}_1\otimes\mathbb{P}_2)$ . Тогда

$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1\otimes\mathbb{P}_2}[X]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}\left[\mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}[X]\right]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}\left[\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}[X]\right],$

где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.

Математический анализ

Пусть $f\colon D=[a,\;b]\times[c,\;d]\to\R$ функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике $[a,\;b]\times[c,\;d]$ , то есть $f\in\R(D)$ . Тогда

$\iint\limits_D f(x,\;y)\,dx\,dy=\int\limits_a^b\int\limits_c^d f(x,\;y)\,dy\,dx=\int\limits_c^d\int\limits_a^b f(x,\;y)\,dx\,dy,$

где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные.

Доказательство

Любое разбиение $λ$ множества $[a,\;b]\times[c,\;d]$ получено некоторыми разбиениями $λ x$ отрезка $X=[a,\;b]$ и $λ y$ отрезка $[c,\;d]$ , при этом объём любого прямоугольника $X_{i}\times Y_{j}$ определяется $V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)=\left|X_{i}\right|\cdot\left|Y_{j}\right|$ , где $X i, Y j$ ― некоторые частичные отрезки разбиений. Тогда рассмотрим следующие оценки интеграла $\int\limits _{X}dx\int\limits _{Y}f\left(x,y\right)\, dy$ и нижних и верхних интегральных сумм функции $\mathcal{L}\left(f,\lambda\right)$ и $\mathcal{U}\left(f,\lambda\right)$ :
$\mathcal{L}\left(f,\lambda\right)=\sum\limits _{i,j}\inf\limits _{{x\in X_{i}, y\in Y_{j}} }f\left(x,y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\leq\sum\limits _{i}\inf\limits _{x\in X_{i}}\left(\sum\limits _{i}\inf\limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|$
$\sum\limits_{i}\inf\left(\int\limits _{Y}f\left(x,y\right)\, dy\right)\left|X_{i}\right|\leq\int\limits _{X}\,dx\int\limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\, dy\leq\sum\limits _{i}\sup\left(\int\limits _{Y}f\left(x,y\right)\, dy\right)\left|X_{i}\right|$
$\mathcal{U}\left(f,\lambda\right)=\sum\limits _{i,j}\sup\limits _{{x\in X_{i},y\in Y_{j}} }f\left(x,y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\geq\sum\limits _{i}\sup\limits _{x\in X_{i}}\left(\sum\limits _{i}\sup\limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|$
Тогда при интегрируемости $f$ по $X\times Y$ , то есть равенстве $\sup\limits _{\lambda}\,\mathcal{L}\left(f,\lambda\right)=\inf\limits _{\lambda}\,\mathcal{U}\left(f,\lambda\right)$ из вышеуказанных оценок интеграл $\int\limits _{X}dx\int\limits _{Y}f\left(x,y\right)\, dy$ также существует и имеет такое же значение, как и $\iint\limits_{X\times Y} f(x,\;y)\,dx\,dy$

См. также

Литература

Зорич В.А. Математический анализ. — М.: Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — С. 131-138.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное

Смотреть что такое "Теорема Тонелли — Фубини" в других словарях:

Теорема Тонелли — Теорема Тонелли Фубини в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным. Содержание 1 Формулировка 2 Частные случаи … Википедия
Анализ функций многих переменных — Эта статья или раздел грубый перевод статьи на другом языке (см. Проверка переводов). Он мог быть сгенерирован программой переводчиком или сделан человеком со слабыми познаниями в языке оригинала. Вы можете помочь … Википедия
Интеграл Даниэля — Одна из основных трудностей в использовании традиционного интеграла Лебега состоит в том, что его применение требует предварительной разработки подходящей теории меры. Существует другой подход, изложенный Даниэлем (Daniell) в 1918 году в его… … Википедия
Кратный интеграл — В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от переменных. Например: Замечание: кратный интеграл − это определенный интеграл, при его вычислении всегда получается число. Содержание 1… … Википедия
Интеграл Даниеля — Одна из основных трудностей в использовании традиционного интеграла Лебега состоит в том, что его применение требует предварительной разработки подходящей теории меры. Существует другой подход, изложенный Даниелем (англ.) в 1918 году в его… … Википедия
Независимость (теория вероятностей) — У этого термина существуют и другие значения, см. Независимость (значения). В теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные … Википедия
Произведение мер — в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами. Содержание 1 Построение 2 Замечания 3 Пример … Википедия
Многомерное исчисление — (также известное как многовариантное исчисление) является расширением исчисления функций одной переменной в исчисление функций нескольких переменных: функции, которые дифференцируются и интегрируются, затрагивая несколько переменных, а не одну.… … Википедия

Словари и энциклопедии на Академике

Теорема Тонелли — Фубини