Дифференциальное уравнение Римана

Дифференциальное уравнение Римана

Дифференциа́льное уравне́ние Ри́мана — обобщение гипергеометрического уравнения, позволяющее получить регулярные сингулярные точки (англ.)русск. в любой точке сферы Римана. Названо в честь математика Бернхарда Римана.

Содержание

Определение

Дифференциальное уравнение Римана определяется как

\frac{d^2w}{dz^2} + \left[ \frac{1-\alpha-\alpha'}{z-a} + \frac{1-\beta-\beta'}{z-b} + \frac{1-\gamma-\gamma'}{z-c} \right] \frac{dw}{dz}
+\left[ \frac{\alpha\alpha' (a-b)(a-c)} {z-a} +\frac{\beta\beta' (b-c)(b-a)} {z-b} +\frac{\gamma\gamma' (c-a)(c-b)} {z-c} \right] \frac{w}{(z-a)(z-b)(z-c)}=0.

Его регулярными сингулярными точками будут a, b и c. Их степени \alpha и \alpha', \beta и \beta', \gamma и \gamma' соответственно. Они удовлетворяют условию

\alpha+\alpha'+\beta+\beta'+\gamma+\gamma'=1. \,

Решения уравнения

Решения уравнения Римана записываются через P-символ Римана

w=P \left\{ \begin{matrix} a & b & c & \; \\ \alpha & \beta & \gamma & z \\ \alpha' & \beta' & \gamma' & \; \end{matrix} \right\}

Обычная гипергеометрическая функция может быть записана как

\;_2F_1(a,b;c;z) = P \left\{ \begin{matrix} 0 & \infty & 1 & \; \\ 0 & a & 0 & z \\ 1-c & b & c-a-b & \; \end{matrix} \right\}

P-функции подчиняются ряду тождеств, одно из которых позволяет обобщить их в терминах гипергеометрических функций. А именно, выражение

P \left\{ \begin{matrix} a & b & c & \; \\ \alpha & \beta & \gamma & z \\ \alpha' & \beta' & \gamma' & \; \end{matrix} \right\} = \left(\frac{z-a}{z-b}\right)^\alpha \left(\frac{z-c}{z-b}\right)^\gamma P \left\{ \begin{matrix} 0 & \infty & 1 & \; \\ 0 & \alpha+\beta+\gamma & 0 & \;\frac{(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)} \\ \alpha'-\alpha & \alpha+\beta'+\gamma & \gamma'-\gamma & \; \end{matrix} \right\}

позволяет записать решение уравнения в виде

w= \left(\frac{z-a}{z-b}\right)^\alpha \left(\frac{z-c}{z-b}\right)^\gamma \;_2F_1 \left( \alpha+\beta +\gamma, \alpha+\beta'+\gamma; 1+\alpha-\alpha'; \frac{(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)} \right)

Преобразование Мёбиуса

P-функция обладает простой симметрией по отношению к преобразованию Мёбиуса, то есть по отношению к группе GL(2, C) или, что эквивалентно, конформному отображению сферы Римана. Произвольно выбранные четыре комплексных числа A, B, C и D, удовлетворяющие условию AD-BC \neq 0, определяют соотношения

u=\frac{Az+B}{Cz+D} \quad \text{ and } \quad \eta=\frac{Aa+B}{Ca+D}и
\zeta=\frac{Ab+B}{Cb+D} \quad \text{ and } \quad \theta=\frac{Ac+B}{Cc+D}.

Тогда будет справедливым равенство

P \left\{ \begin{matrix} a & b & c & \; \\ \alpha & \beta & \gamma & z \\ \alpha' & \beta' & \gamma' & \; \end{matrix} \right\} =P \left\{ \begin{matrix} \eta & \zeta & \theta & \; \\ \alpha & \beta & \gamma & u \\ \alpha' & \beta' & \gamma' & \; \end{matrix} \right\}

Литература

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (Dover: New York, 1972)

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Дифференциальное уравнение Римана" в других словарях:

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ — уравнение вида где F заданная действительная функция точки х=(xt, ..., х п )области Dевклидова пространства Е п, и действительных переменных (и(х) неизвестная функция) с неотрицательными целочисленными индексами i1 ,..., in, k=0, ..., т, по… …   Математическая энциклопедия

  • Дифференциальное уравнение в частных производных — (частные случаи также известны как уравнения математической физики, УМФ)  дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные. Содержание 1 Введение 2 История …   Википедия

  • Дифференциальное уравнение с частными производными — Дифференциальное уравнение в частных производных (общеупотребительно сокращение (Д)УЧП, также известны как уравнения математической физики, УМФ)  дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные… …   Википедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЕ — уравнение, в к ром неизвестной является функция от одного независимого переменного, причем в это уравнение входят не только сама неизвестная функция, но и ее производные различных порядков. Термин дифференциальные уравнения был предложен Г.… …   Математическая энциклопедия

  • РИМАНА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка в комплексной плоскости, имеющее три заданные регулярные особые точки а, b, с с соответствующими характеристич. показателями a. a , b, b , g, g в этих точках. Общий вид… …   Математическая энциклопедия

  • Уравнение в частных производных — Дифференциальное уравнение в частных производных (общеупотребительно сокращение (Д)УЧП, также известны как уравнения математической физики, УМФ)  дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные… …   Википедия

  • Уравнение Лапласа — Уравнение Лапласа  дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так: и является частным случаем уравнения Гельмгольца. Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном… …   Википедия

  • ФУКСА УРАВНЕНИЕ — уравнение класса Фукса линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение в комплексной области с аналитич. оэффициентами, все особые точки к рого на Римана сфере являются регулярными особыми точками. Для того чтобы уравнение (1)… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИНЕЙНОЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И СИСТЕМА — дифференциальное уравнение (и система) с частными производными вида у к poro в любой точке х=( х 0, x1 . . ., х n).области его задания среди действительных переменных y0, y1 . . ., yn можно выделить (в случае надобности после надлежащего… …   Математическая энциклопедия

  • ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение с частными производными Этому уравнению удовлетворяет напряжение тока в проводе, рассматриваемое как функция времени tи расстояния sот нек рой фиксированной точки провода. Здесь с скорость света, емкостный, индуктивный… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»