Зависящий от параметра интеграл

Толкование Перевод

Зависящий от параметра интеграл: Интеграл, зависящий от параметра — математическое выражение, содержащее определённый интеграл и зависящее от одной или нескольких переменных («параметров»).

Содержание

1 Зависящий от параметра собственный интеграл

1.1 Свойства интеграла, зависящего от параметра

1.1.1 Непрерывность

1.1.2 Дифференцирование под знаком интеграла

1.1.3 Интегрирование под знаком интеграла

Зависящий от параметра собственный интеграл

Пусть в двумерном евклидовом пространстве задана область $\overline{G}=\left\{\left (x,y\right )|a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \right\}$ , на которой определена функция $~f(x,y)$ двух переменных.

Пусть далее, $\forall y\in \left[c;d\right]\, \exists I\left(y\right)=\int\limits_a^b f\left(x,y\right )\, dx$ .

Функция $~I(y)$ и называется интегралом, зависящим от параметра.

Свойства интеграла, зависящего от параметра

Непрерывность

Пусть функция $~f(x,y)$ непрерывна в области $\overline{G}$ как функция двух переменных. Тогда функция $I\left(y\right)=\int\limits_a^b f\left(x,y\right )\, dx$ непрерывна на отрезке $~[c;d]$ .

Доказательство

Рассмотрим приращение интеграла, зависящего от параметра. $\Delta I\left(y\right) = I\left(y+\Delta y\right)-I\left(y\right )=\int\limits_a^b f\left(x,y+\Delta y\right)\,dx-\int\limits_a^b f\left(x,y\right)\,dx=$

$=\int\limits_a^b \left(f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\right)\,dx$ .

По теореме Кантора, непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нём, то есть $\forall \epsilon >0 \, \exists \delta = \delta\left(\epsilon\right )>0\, \forall M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)\in \overline{G}:$

$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}<\delta \, \left|f(M_1)-f(M_2)\right|<\epsilon$ .

Следовательно, $\Delta I(y) < \epsilon (b-a)$ при $\Delta y < \delta$ , что и означает непрерывность функции

Дифференцирование под знаком интеграла

Пусть теперь на области $\overline{G}$ непрерывна не только функция $~f(x,y)$ , но и её частная производная $\frac {\partial f} {\partial y} \left (x,y\right )$ .

Тогда $\frac {d} {dy} I(y) = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx$ , или, что то же самое, $\frac {d} {dy} \int\limits_a^b f(x,y)\,dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx$

Доказательство

$\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} = \frac {1} {\Delta y} \int\limits_a^b (f(x,y+\Delta y) - f(x,y)) dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} (x,\eta ) dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} (x,y+\Theta \Delta y)dx$ $( \eta \in [y;y+\Delta y], \Theta \in [0;1])$ Данные преобразования были выполнены с использованием теоремы о среднем Лагранжа. Рассмотрим теперь выражение $\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx = \int\limits_a^b \left(\frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y+\Theta \Delta y \right) - \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \right) \, dx$ .

Используя вновь теорему Кантора, но для функции $\frac {\partial f} {\partial y}$ мы получаем, что $\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx = o(1)$ при $\Delta(y) \to 0$ , что и доказывает данную теорему

Интегрирование под знаком интеграла

Если функция $~f(x,y)$ непрерывна в области $\overline{G}$ , то

$\int\limits_c^d I(y)\,dy = \int\limits_a^b \left (\int\limits_c^d f(x,y)\, dy \right )\, dx$ , или, что то же самое:

$\int\limits_c^d \left (\int\limits_a^b f(x,y) \, dx \right )\, dy = \int\limits_a^b \left(\int\limits_c^d f(x,y)\, dy\right )\,dx$

Доказательство

Рассмотрим две функции:

$F(x)=\int\limits_a^x \left(\int\limits_c^d f(x,y)\, dy\right )\,dx$

$G(x)=\int\limits_c^d \left (\int\limits_a^x f(x,y) \, dx \right )\, dy$

$\frac {dF} {dx} = \int\limits_c^d f(x,y)\, dy$

$\frac {dG} {dx} = \int\limits_c^d \left (\frac {\partial f} {\partial x} (x,y) \,dx \right)\,dy = \int\limits_c^d f(x,y)\,dy$

$\frac {dF} {dx} \equiv \frac {dG} {dx}$ на $[a;b]$ , следовательно $F(x) \equiv G(x)+C$ .

Так как $F(a)=0, G(a)=\int\limits_c^d 0dy=0$ , то $C=0$ и $F(x) \equiv G(x)$ На $[a;b]$ . Подставляя $x=b$ получаем условие теоремы.

Для улучшения этой статьи по математике желательно^?:

Добавить иллюстрации.

Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Категории:
Математический анализ
Интегральное исчисление

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное

Смотреть что такое "Зависящий от параметра интеграл" в других словарях:

Интеграл — Определённый интеграл как площадь фигуры У этого термина существуют и другие значения, см. Интеграл (значения). Интеграл функции … Википедия
ШВАРЦА ИНТЕГРАЛ — зависящий от параметра интеграл, дающий решение задачи Шварца о выражении аналитич. ции f(z)=u(z)+iv(z)в круге Dпо граничным значениям ее действительной (или мнимой) части ина граничной окружности . (см. [1]). Пусть на единичной окружности дана… … Математическая энциклопедия
ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ ПОТЕНЦИАЛОВ МЕТОД — принцип Дюамеля, метод отыскания решения однородной задачи Коши для неоднородного линейного дифференциального уравнения или системы с частными производными по известному решению однородного уравнения или системы. Пусть дано уравнение где L… … Математическая энциклопедия
Комплексный анализ — Комплексный анализ[1], теория функций комплексного переменного (или комплексной переменной; сокращенно ТФКП) раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента. Содержание 1 Общие понятия … Википедия
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ. — КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ. Содержание:1. Квантовые поля ................. 3002. Свободные поля и корпускулярно волновой дуализм .................... 3013. Взаимодействие полей .........3024. Теория возмущений ............... 3035. Расходимости и… … Физическая энциклопедия
Комплексный анализ (исторический очерк) — Комплексный анализ[1][2] или теория функций комплексного переменного (комплексной переменной) (ТФКП) часть математического анализа, в которой рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента. Содержание 1 Общие понятия 2… … Википедия
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ — ур ния, не обладающие свойством линейности; применяются в физике как матем. модели нелинейных явлений в разл. сплошных средах. Н. у. м. ф. важная часть матем. аппарата, используемого в фундам. физ. теориях: теории тяготения и квантовой теории… … Физическая энциклопедия
Ортогональные многочлены — Пафнутий Львович Чебышёв В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов … Википедия
НЕТЕР ТЕОРЕМА — фундаментальная теорема физики, устанавливающая связь между св вамн симметрии физ. системы и сохранения законами. Сформулирована нем. математиком Э. Нётер (Е. Noether) в 1918. Н. т. утверждает, что для физ. системы, ур ния движения к рой имеют… … Физическая энциклопедия
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ — численные методы нахождения методы вычисления полного спектра интегрального оператора или его части (чаще всего ставится задача отыскания одного двух минимальных или максимальных по модулю собственных значений). Сопутствующей задачей часто бывает … Математическая энциклопедия

Словари и энциклопедии на Академике

Зависящий от параметра интеграл

Содержание

Зависящий от параметра собственный интеграл

Свойства интеграла, зависящего от параметра

Непрерывность

Дифференцирование под знаком интеграла

Интегрирование под знаком интеграла

Полезное

Смотреть что такое "Зависящий от параметра интеграл" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Словари и энциклопедии на Академике

Википедия

Зависящий от параметра интеграл

Содержание

Зависящий от параметра собственный интеграл

Свойства интеграла, зависящего от параметра

Непрерывность

Дифференцирование под знаком интеграла

Интегрирование под знаком интеграла

Полезное

Смотреть что такое "Зависящий от параметра интеграл" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка: