Комплекс (математика)

Комплекс (математика)
У этого термина существуют и другие значения, см. Комплекс.

Компле́кс[1] (от лат. compléxus — связь, сочетание) — одно из основных понятий комбинаторной топологии.

Комплексом называется частично упорядоченное правильным, рефлексивным и транзитивным отношением «<» множество K каких-либо элементов t, вместе с некими функциями \dim t и [t:t'].

Целочисленная функция \dim t называется размерностью элемента t, функция [t:t'] — коэффициентом инцидентности элементов t и t'. Эти функции должны удовлетворять следующим условиям:

  1. из t'<t следует, что \dim t'<\dim t;
  2. [t:t']=[t':t];
  3. из [t:t']\neq0 следует, что либо t'<t, либо t<t', и |\dim t-\dim t'|=1;
  4. для любой пары элементов t, t' из K, для которых |\dim t-\dim t'|=2, в K найдётся не более, чем конечное число таких элементов t'', что
[t:t''][t'':t']\neq0 и \sum_{t''}[t:t''][t'':t']=0.

Связанные определения

При замене [t:t'] на a(t)a(t')[t:t'], где a(t) — функция со значениями ±1, получается комплекс, отождествляемый с K. Таким образом, коэффициенты инциденции [t:t'] задаются с точностью до множителя a(t)a(t'). Переход от одного значения к другому называется переменой ориентации комплекса K.

Комплекс K называется конечномерным (n-мерным), если существует такое n, равное максимальной размерности симплексов из K; в противном случае, он называется бесконечномерным. Комплекс K называется конечным, если множество его элементов конечно.

Звездой элемента t комплекса K называется множество всех таких элементов t' из K, для которых выполняется условие t'>t.

Замыканием элемента t из K называется множество всех таких элементов t' из K, что t'<t.

Границей элемента t из K называется множество всех таких элементов t' из K, что одновременно t'<t и t'\neq t.

Элемент t' называется гранью элемента t из K, если t'<t. При t'\neq t грань t' элемента t называется истинной гранью.

Элементы t и t' из K называются инцидентными, если t'<t или t<t'.

Подкомплексом комплекса K называется любое подмножество множества K, являющееся комплексом при тех же размерностях и коэффициентах инцидентности, что и комплекс K.

Подкомплекс называется замкнутым, если он содержит замыкание каждого своего элемента, и открытым, если он содержит звезду каждого своего элемента. Дополнение замкнутого комплекса есть открытый комплекс, и наоборот. Звезда каждого элемента любого комплекса является открытым подкомплексом, а замыкание и граница — замкнутыми подкомплексами.

r-мерным остовом K^r комплекса K называется множество всех таких элементов t из K, что \dim t\leqslant r. Остов является замкнутым подкомплексом.

Комплексы K={t} и L называется изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение f множества K на множество L, что \dim f(t)=\dim t и [t:t']=[f(t):f(t')]:

f\colon K\leftrightarrow L:\dim f(t)=\dim t\wedge[t:t']=[f(t):f(t')].

Важнейшим типом комплекса является симплициальный комплекс.

Симплициальный комплекс имеет две разновидности:

  • абстрактный комплекс;
  • геометрический комплекс.

Примечания

  1. ↑ См., например,

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Комплекс (математика)" в других словарях:

  • МАТЕМАТИКА — (от греческого mathema знание, учение, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах окружающего нас мира. Понимание самостоятельного положения математики как особой науки возникло в Древней Греции в 6 5 вв. до нашей эры.… …   Современная энциклопедия

  • Математика — (от греческого mathema знание, учение, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах окружающего нас мира. Понимание самостоятельного положения математики как особой науки возникло в Древней Греции в 6 5 вв. до нашей эры.… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • МАТЕМАТИКА — наука о пространственных формах и количественных отношениях реального мира. Она объединяет комплекс дисциплин: арифметику (теорию чисел), алгебру, геометрию, математический анализ (дифференциальное и интегральное исчисления), теорию множеств,… …   Большая политехническая энциклопедия

  • Математика в Древней Греции — Данная статья  часть обзора История математики. Муза геометрии (Лувр) …   Википедия

  • МАТЕМАТИКА — (греч. matheciatike, от mathema знание, учение, наука) наука о количеств. отношениях и пространств, формах действит. мира. М. объединяет комплекс дисциплин: арифметику (теорию чисел), алгебру, геометрию, матем. анализ (дифференц. и интегр.… …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • Олимпиада школьников «Ломоносов» — Олимпиада школьников «Ломоносов»  ежегодная олимпиада школьников, проводимая МГУ совместно с другими ВУЗами России. Содержание 1 История 2 Предметы[1] 3 …   Википедия

  • Факультет математики — Факультет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ Координаты: 47°13′00″ с. ш. 39°37′43″ в. д. /  …   Википедия

  • СССР. Естественные науки —         Математика          Научные исследования в области математики начали проводиться в России с 18 в., когда членами Петербургской АН стали Л. Эйлер, Д. Бернулли и другие западноевропейские учёные. По замыслу Петра I академики иностранцы… …   Большая советская энциклопедия

  • Взаимодействие многих тел — Комплекс задач о взаимодействии многих тел достаточно обширный, и является одним из базовых, далеко не полностью разрешённых, разделов механики. В рамках ньютоновской концепции проблема ветвится на: комплекс задач столкновения двух и более… …   Википедия

  • Пирамида Хеопса - постоянная тонкой структуры — Комплекс пирамид Хеопс Хефрен Микерин и Сфинкс расположены на территории современного Египта (плато Гиза) и построены по единому архитектурному плану. Пирамиды Гизы Пирамида Хеопса …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»