- Лемма Гронуолла-Беллмана
-
В математике лемма Гронуолла, также называемая леммой Гронуолла-Беллмана, позволяет ограничить функцию, удовлетворяющую определенному дифференциальному или интегральному неравенству решением соответствующего дифференциального или интегрального уравнения[1][2]. Имеется две формулировки леммы — в дифференциальной и в интегральной формах. Лемма Гронуолла является важным инструментом при получении различных оценок в теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. В частности, она используется при доказательстве единственности решения задачи Коши.
Содержание
Формулировка
Пусть
,
при этом для
выполняется неравенство:
,
где
— положительная константа. В таком случае при имеем
.
Доказательство
Из неравенства (1) получим:
и
А так как
![\frac{d}{dt} \bigg[ c \, + \, \int_{t_0}^{t} f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 \bigg] = f(t)u(t),](4/c14f2f92277302d82fa8864e2bca1dec.png)
,
то проинтегрировав неравенство (3) в пределах от
до 
, получим:Отсюда, используя неравенство (1), получаем:
,
что и требовалось доказать.
Примечания
Ссылки
- PlanetMath
- Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967.
Категории:- Леммы
- Неравенства
![\ln \bigg[ c \, + \, \int_{t_0}^{t}\, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1\bigg] \, - \, \ln c \, \le \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, dt_1.](a/cfaa48cfdac562c49d3aa6cb7e2f28bf.png)
Wikimedia Foundation. 2010.
