Многозначное отображение

Многозначное отображение

Многозначное отображение — разновидность математического понятия отображения (функции). Пусть X\, и Y\, — произвольные множества, а 2^Y\, — совокупность всех подмножеств множества \,Y. Многозначным отображением из множества X\, в Y\, называется всякое отображение F : \ X \to 2^Y. Обычно областью определения многозначного отображения F\, является подмножество X \subset \mathbb{R}^n, а областью значений — пространство \Omega(Y) \subset 2^Y, состоящее из непустых компактных подмножеств множества Y \subset \mathbb{R}^m, то есть F: X \to \Omega(Y).

  • Пример 1. Пусть X = Y = \mathbb{R}. Ставя в соответствие каждому значению x \in X отрезок [-|x|,\,|x|], мы получаем многозначное отображение F: \mathbb{R} \to \Omega(\mathbb{R}).
  • Пример 2. Пусть f: [0,1] \to \mathbb{R} — непрерывная функция. Положим X = [\min f,+\infty) и \,Y = [0,1]. Ставя в соответствие каждому значению x\in X множество M(x)=\{y\in [0,1] : f(y)\le x\}, мы получаем многозначное отображение F: X \to \Omega(Y).

Многозначные отображения находят приложения в различных областях математики: негладком и выпуклом анализе, теории дифференциальных уравнений, теории управления, теории игр и математической экономике.

Связанные определения и свойства

1. Пространство \Omega(\mathbb{R}^m) является метрическим с метрикой Хаусдорфа. Это позволяет ввести понятие непрерывного многозначного отображения.

2. Рассматривая для каждого x \in \mathbb{R}^n опорную функцию множества F(x) \in \Omega(\mathbb{R}^m), мы получим вещественнозначную функцию \,c(F(x),\psi) от двух аргументов: x \in \mathbb{R}^n и \psi \in (\mathbb{R}^n)^*, где звёздочка означает сопряжённое пространство.

3. Многозначное отображение \,F непрерывно тогда и только тогда, когда его опорная функция \,c(F(x),\psi) непрерывна по переменной \,x для каждого фиксированного \,\psi.

4. Многозначное отображение называется измеримым, если его опорная функция \,c(F(x),\psi) измерима по переменной \,x для каждого фиксированного \,\psi.

5. Однозначной ветвью или селектором многозначного отображения F: \mathbb{R}^n \to \Omega(\mathbb{R}^m) называется такая функция f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, что f(x)\in F(x) для любого x \in \mathbb{R}^n.

6. Лемма Филиппова: у любого измеримого многозначного отображения существует измеримый селектор. Лемма Филиппова имеет многочисленные приложения. В частности, она позволяет установить существование оптимального управления для широкого класса задач в теории управляемых систем.

7. Многозначное отображение F: X \to \Omega(Y) называется полунепрерывным сверху (по включению) в точке x_0\in X, если для любой окрестности множества \,F(x_0) \in \Omega(Y) (обозначим её \,V(F(x_0))) существует такая окрестность точки x_0 \in X (обозначим её \,U(x_0)), что F(x) \subset V(F(x_0)) для любого x \in U(x_0). Многозначное отображение F: X \to \Omega(Y) называется полунепрерывным сверху (по включению), если оно является полунепрерывным сверху в каждой точке x\in X. Непрерывное многозначное отображение (определение с помощью метрики Хаусдорфа) является полунепрерывным сверху.

8. Теорема Какутани: Пусть X \subset \mathbb{R}^n — непустое, компактное, выпуклое подмножество и многозначное отображение F: X \to \Omega(X) имеет своими значениями компактные, выпуклые множества и является полунепрерывным сверху по включению. Тогда отображение \,F имеет неподвижную точку x_* \in X, т.е. x_* \in F(x_*). Теорема Какутани имеет многочисленные приложения в теории игр. В частности, с её помощью легко получается доказательство фундаментального результата теории игр — теоремы Нэша о существовании равновесия в бескоалиционной игре.

См. также

Литература

  • Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, — Любое издание.
  • Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление, — Высшая школа, Москва, 2001.
  • Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление, — Тр. МИАН, т.169 (1985).
  • Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач, — Физматлит, Москва, 1974.
  • Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи, — Наука, Москва, 1980.
  • Воробьёв Н. Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры, — Наука, Москва, 1984.


Формула

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Многозначное отображение" в других словарях:

  • МНОГОЗНАЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — точечно множественное отображение, отображение , ставящее в соответствие каждому элементу хмножества Xнек рое подмножество Г (х)множества У. Если для каждого множество Г (х)состоит из одного элемента, то отображение Г наз. однозначным. М. о. Г… …   Математическая энциклопедия

  • неоднозначное (многозначное) отображение — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] Тематики защита информации EN one to many mapping …   Справочник технического переводчика

  • ЗАМКНУТОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — отображение одного топологич. пространства на другое, при к ром образ всякого замкнутого множества есть замкнутое множество. Класс непрерывных 3. о. играет важную роль в общей топологии и ее приложениях. Непрерывные замкнутые бикомпактные… …   Математическая энциклопедия

  • ПОКРЫТИЯ И УПАКОВКИ — комбинаторные конфигурации, связанные с многозначным отображением одного множества на другое. Пусть заданы множества Vи Еи многозначное отображение Г множества Ена множество V. Пусть Г(е). образ элемента при отображении Г и для любого пусть Г(С) …   Математическая энциклопедия

  • МИЛНОРА СФЕРА — гладкое многообразие, гомео морфное (кусочно линейно изоморфное) сфере S", но не диффеоморфное ей. Впервые пример такого многообразия был построен Дж. Милнором в 1956 (см. [1]); этот же пример первый пример гомеоморфных, но не диффеоморфных… …   Математическая энциклопедия

  • ОТОБРАЖЕНИИ КЛАССЫ — важнейшие классы непрерывных отображений, рассматриваемые в общей топологии и ее приложениях. К ним относятся: открытые отображения такие, что образ любого открытого множества является открытым множеством; замкнутые отображения такие, при к рых… …   Математическая энциклопедия

  • МЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ — оператор наилучшего приближения, многозначное отображение , ставящее в соответствие каждому элементу хметрич. пространства совокупность наилучшего приближения злементовпз множества Если М чебышевское множество, то М. п. однозначное отображение.… …   Математическая энциклопедия

  • Недетерминированная машина Тьюринга — Машина Тьюринга Варианты машин Универсальная машина Тьюринга Квантовая машина Тьюринга en:Read only Turing machine en:Read only right moving Turing Machines Вероятностная машина Тьюринга Недетер …   Википедия

  • Многозначная функция — Функция от элемента «3» принимает два значения Многозначная функция  обобщение понятия функции, допускающее наличие нескольких значений функции для одного аргуме …   Википедия

  • Дифференциальное включение — обобщение понятия дифференциального уравнения: где правая часть (*) есть многозначное отображение, ставящее в соответствие каждой паре переменных и непустое компактное множество в пространстве Решением дифференциального включения (*) обычно назыв …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»