Вторая теорема разложения

Толкование

Вторая теорема разложения: Содержание

1 Теорема

2 Примеры

2.1 Случай простых полюсов

2.2 Случай кратных полюсов

3 См. также

Теорема

Если $F(p) = \frac{F_1(p)}{F_2(p)}$ — правильная рациональная функция и $F_2(p) = (p - p_1)^{m_1}(p - p_2)^{m_2}...(p - p_l)^{m_l}$ , то оригинал можно найти по формуле

$f(t) = \sum_{k=1}^l \sum_{v=1}^{m_k} \frac{A_{kv}}{(m_k - v)!}t^{m_{k}-v}e^{p_{k}t}, \quad t > 0$

где

$A_{kv} = \frac{1}{(v - 1)!} \lim_{p \to p_k} \frac{d^{v - 1}}{dp^{v - 1}}((p - p_k)^{m_k}F(p))$

В частности, если все корни знаменателя простые и $F_2(p) = (p - p_1)...(p - p_n) \quad$ , то

$f(t) = \sum_{k=1}^n \frac{F_1(p_k)}{F_2^'(p_k)}e^{p_kt}$

Примеры

Приведём несколько примеров применения теоремы о разложении.

Случай простых полюсов

Пусть функция $F(p)=\frac{1}{p(p-a)(p-b)}$ . Очевидно, что функция имеет полюса первого порядка в точках $p_1=0$ , $p_2=a$ и $p_3=b$ Тогда её оригинал представим в виде $f(t)=A_1\cdot e^{0 t} + A_2\cdot e^{a t} + A_3\cdot e^{b t}$ .

Найдём соответствующие $A_1$ , $A_2$ и $A_3$ . Для этого вычислим производную знаменателя функции $F_2^\prime(p)=3p^2-2bp-2ap+ab$ . В соответствии с вышесказанным $A_1=\frac{F_1(p_1)}{F_2^\prime(p_1)}=\frac{F_1(0)}{F_2^\prime(0)}=\frac{1}{ab}$ . Аналогично $A_2=\frac{1}{a^2-ab}$ и $A_3=\frac{1}{b^2-ab}$ .

Окончательно, оригинал функции $F(p)=\frac{1}{p(p-a)(p-b)}$ равен $f(t)=\frac{1}{ab} + \frac{1}{a^2-ab}e^{a t} + \frac{1}{b^2-ab}e^{b t}$ .

Случай кратных полюсов

Пусть функция $F(p)=\frac{p+a}{p(p+b)^2}$ . Функция имеет полюс первого порядка при $p_1=0$ и полюс второго порядка в точке $p_2=-b$ . Следовательно оригинал должен иметь вид $f(t)=A_1\cdot e^{0 t} + A_{21}\cdot t e^{-bt}+A_{22}\cdot e^{-bt}$ .

Следует отметить коэффициенты $A_{kv}=A_{k}$ для полюсов первого порядка можно по-прежнему искать вычисляя производную: $F_2^\prime(p)=3p^2+4bp+b^2$ . Таким образом $A_1=\frac{a}{b^2}$ .

Пусть теперь $A_2(p)=(p+b)^2\cdot F(p) = \frac{p+a}{p}$ (это соответствует выражению под знаком предела в общей формуле). Тогда $A_{21}=\frac{1}{0!}\lim_{p \to -b} A^{(0)}(p)=-\frac{a-b}{b}$ и $A_{22}=\frac{1}{1!}\lim_{p \to -b} A^{(1)}(p)=-\frac{a}{b^2}$ , где $A^{(1)}(p)=\frac{dA(p)}{dp}=-\frac{a}{p^2}$ .

Окончательно имеем $f(t)=\frac{a}{b^2} - \frac{a-b}{b} t e^{-bt} - \frac{a}{b^2} e^{-bt}$ .

См. также

Первая теорема разложения

Преобразование Лапласа

Категория:
Операционное исчисление

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное

Смотреть что такое "Вторая теорема разложения" в других словарях:

Первая теорема разложения — Теорема Если функция разлагается в окрестности бесконечно удалённой точки в сходящийся ряд Лорана, имеющий вид , то является изображением оригинала Внимание! В формуле для из … Википедия
Теорема о равнораспределении — Тепловое движение α пептида. Сложное дрожащее движение атомов, составляющих пептид, случайно, и энергия отдельного атома флуктуирует в широких пределах, но с помощью закона равнораспределения вычисляют как среднюю кинетическую энергию каждого… … Википедия
Эквипарциальная теорема — Тепловое движение α пептида. Сложное дрожащее движение атомов, составляющих пептид, случайно, и энергия отдельного атома флуктуирует в широких пределах, но с помощью закона равнораспределения вычисляют как среднюю кинетическую энергию каждого… … Википедия
Преобразование Лапласа — Преобразование Лапласа интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются… … Википедия
Лапласа преобразование — Преобразование Лапласа интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и … Википедия
Обратное преобразование Лапласа — Преобразование Лапласа интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и … Википедия
Обращение интеграла Лапласа — Пусть функция комплексного переменного удовлетворяет следующим условиям: аналитическая в области в области при ра … Википедия
Формула Меллина — Пусть функция F комплексного переменного p = x + iy удовлетворяет следующим условиям: F аналитическая в области в области при равномерно относительно argp для всех … Википедия
СТЕПЕННОЙ РЯД — 1)С. р. по одному комплексному переменному z функциональный ряд вида где a центр ряда, bk его коэффициенты, bk(z a)k члены ряда. Существует число r, называемое радиусом сходимости С. р. (1) и определяемое по формуле Коши Адамара такое, что при |z … Математическая энциклопедия
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА — (волновая механика), теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элем. ч ц, атомов, молекул, ат. ядер) и их систем (напр., кристаллов), а также связь величин, характеризующих ч цы и системы, с физ. величинами,… … Физическая энциклопедия

Словари и энциклопедии на Академике

Вторая теорема разложения

Содержание

Теорема

Примеры

Случай простых полюсов

Случай кратных полюсов

См. также

Полезное

Смотреть что такое "Вторая теорема разложения" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Словари и энциклопедии на Академике

Википедия

Вторая теорема разложения

Содержание

Теорема

Примеры

Случай простых полюсов

Случай кратных полюсов

См. также

Полезное

Смотреть что такое "Вторая теорема разложения" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка: