Метод прямоугольников

Метод прямоугольников

Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0.

Если отрезок \left[ a, b \right]\,\! является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по

  1. Формуле левых прямоугольников: \int^b_a f(x)\,dx \approx f(a) (b - a).
  2. Формуле правых прямоугольников: \int^b_a f(x)\,dx \approx f(b) (b - a).
  3. Формуле прямоугольников (средних): \int^b_a f(x)\,dx \approx f\left(\frac{a + b}{2}\right) (b - a).

Содержание

Составные квадратурные формулы

В случае разбиения отрезка интегрирования на n\,\! элементарных отрезков приведённые выше формулы применяются на каждом из этих элементарных отрезков между двумя соседними узлами. В результате, получаются составные квадратурные формулы

  1. Для левых прямоугольников: \int^b_a f(x)\,dx \approx \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) (x_{i+1} - x_i).
  2. Для правых прямоугольников: \int^b_a f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n f(x_i) (x_i - x_{i-1}).
  3. Для средних прямоугольников: \int^b_a f(x)\,dx \approx \sum_{i=0}^{n-1} f\left(\frac{x_i + x_{i+1}}{2}\right) (x_{i+1} - x_i) = \sum_{i=1}^n f\left(\frac{x_{i-1} + x_i}{2}\right) (x_i - x_{i-1}).

Формулу с вычислением значения в средней между двумя узлами точке можно применять лишь тогда, когда подынтегральная функция задана аналитически, либо каким-нибудь иным способом, допускающим вычисление значения в произвольной точке. В задачах, где функция задана таблицей значений остаётся лишь вычислять среднее значение между интегралами, посчитанными по формулам левых и правых прямоугольников соответственно, что приводит к составной квадратурной формуле трапеций.

Поскольку составные квадратурные формулы являются ни чем иным, как суммами, входящими в определение интеграла Римана, при n \to \infty\,\! они сходятся к точному значению интеграла. Соответственно, с увеличением n\,\! точность получаемого по приближённым формулам результата возрастает.

Сравнение применения различных формул прямоугольников
Формула левых прямоугольников  
Формула средних прямоугольников  
Формула правых прямоугольников  

Составные формулы для равномерных сеток

Равномерную сетку можно описать следующим набором формул:

x_i = a + i h, \qquad h = \frac{b - a}{n},

где h\,\! — шаг сетки.

Для равномерных сеток формулы прямоугольников можно записать в виде следующих формул Котеса:

  1. Составная формула левых прямоугольников: \int^b_a f(x)\,dx \approx h \sum_{i=0}^{n-1} f_i = h (f_0 + f_1 + \ldots + f_{n-1}).
  2. Составная формула правых прямоугольников: \int^b_a f(x)\,dx \approx h \sum_{i=1}^{n} f_i = h (f_1 + f_2 + \ldots + f_{n}).

Погрешность метода

Для формул правых и левых прямоугольников погрешность составляет

E(f) = \frac{f'(\xi)}{2} (b - a)^2.

Для формулы прямоугольников (средних)

E(f) = \frac{f''(\xi)}{24} (b - a)^3.

Для составных формул правых и левых прямоугольников на равномерной сетке:

E(f) = \frac{f'(\xi)}{2} (b - a) h.

Для составной формулы прямоугольников:

E(f) = \frac{f''(\xi)}{24} (b - a) h^2.

Пример реализации

Формула средних прямоугольников для аналитически заданной функции, написанная на С

#include <stdio.h>
#include <math.h>
 
double f(double x){ //Подынтегральная функция
   return sin(x); //Например, sin(x)
}
 
double rectangle_integrate(double a, double b, int n, double (*f)(double) ){
   double result, h;
   int i;
 
   h = (b-a)/n; //Шаг сетки
   result = 0.0;
 
   for(i=1; i <= n; i++){
      result += f( a + h * (i - 0.5) ); //Вычисляем в средней точке и добавляем в сумму
   }
   result *= h;
 
   return result;
}
 
int main(void){
   double integral;
   integral=rectangle_integrate(0,2,100,f);
   printf("The value of the integral is: %lf \n", integral);
   return 0;
}


Question book-4.svg
 В этой статье не хватает ссылок на источники информации.
Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 25 марта 2012.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Метод прямоугольников" в других словарях:

  • Прямоугольников формула — Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура)  вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… …   Википедия

  • Метод Годунова — Метод Годунова  реализация схем сквозного счета, с помощью которых можно рассчитывать газодинамические течения с разрывами параметров внутри расчётной области. Метод Годунова  это вариант метода контрольного объёма. Потоки через боковые …   Википедия

  • Метод функционального моделирования SADT — Structured Analysis and Design Technique разработан в 1973 г . Дугласом Россом (SoftTech, Inc.). Успешно использовался в военных, промышленных и коммерческих организациях США. Метод поддерживается Министерством обороны США, которое было… …   Политология. Словарь.

  • Метод трапеций — Аппроксимация функции линейной зависимостью при интегрировании методом трапеций Метод трапеций метод численн …   Википедия

  • Формула прямоугольников — Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура)  вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… …   Википедия

  • РАСЩЕПЛЕНИЯ МЕТОД — сеточный метод решения нестационарных задач со многими пространственными переменными, в к ром переход от заданного временного слоя tn к новому слою осуществляется за счет последовательного решения сеточных аналогов родственных нестационарных… …   Математическая энциклопедия

  • Численное интегрирование — (историческое название: (численная) квадратура) вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла. Численное… …   Википедия

  • Квадратурные формулы — Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура)  вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… …   Википедия

  • Квадратурная формула — Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура)  вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… …   Википедия

  • Формула трапеций — Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура)  вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»