Неравенство Брунна

Неравенство Брунна

Теорема Брунна — Минковского — классическая теорема выпуклой геометрии:

Пусть K_0 и K_1 — компактные тела в n-мерном евклидовом пространстве. Рассмотрим сумму Минковского K_\lambda=(1-\lambda)K_0+\lambda K_1, \lambda\in[0,1], то есть множество точек, делящих отрезки с концами в любых точках множеств K_0 и K_1 в отношении \lambda к (1-\lambda). Тогда функция

f(\lambda)=\sqrt[n]{\mathop{\rm vol}K_\lambda}

есть вогнутая функция от \lambda.

Более того, функция f(\lambda) линейна в том и только в том случае, когда K_0 и K_1 гомотетичны.


Следствия

Теорема Бибербаха о максимальном свойстве шара:

В евклидовом пространстве среди всех тел данного диаметра, шар имеет наибольший объём.

Для доказательства теоремы достаточно применить неравенство Брунна — Минковского к данному телу W и к его центральносимметричной копии W'.

История

Теорема установлена Брунном (англ.) в 1887, уточнена и дополнена Минковским[1], обобщена на случай произвольных компактных тел Люстерником[2].

Литература

  1. ↑ Minkowski Hermann Geometrie der Zahlen. — Leipzig: Teubner, 1896.
  2. ↑ Lyusternik, Lazar A. (1935). «Die Brunn-Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen». Comptes Rendus (Doklady) de l'académie des Sciences de l'uRSS (Nouvelle Série) III: 55–58.


Формула

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Неравенство Брунна" в других словарях:

  • Неравенство Брунна — Минковского — Теорема Брунна  Минковского  классическая теорема выпуклой геометрии, установлена Г. Брунном (H. Brunn) в 1887, уточнена и дополнена Минковским[1], обобщена на случай произвольных компактных тел Люстерником[2]. Пусть K0 и K1 … …   Википедия

  • Неравенство Брунна—Минковского — Теорема Брунна Минковского классическая теорема выпуклой геометрии, установлена Г. Брунном (H. Brunn) в 1887, уточнена и дополнена Минковским[1], обобщена на случай произвольных компактных тел Люстерником[2]. Пусть K0 и K1 компактные тела в n… …   Википедия

  • БРУННА-МИНКОВСКОГО ТЕОРЕМА — пусть К 0 и выпуклые множества, n мерного евклидова пространства, (линейная комбинация К 0 и K1) множество точек, делящих отрезки с концами в любых точках множеств в отношении , корень n й степени из объема множества ; тогда вогнутая функция от …   Математическая энциклопедия

  • ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО КЛАССИЧЕСКОЕ — неравенство между объемом Vобласти в евклидовом пространстве Rn, и (n 1) мерной площадью F, ограничивающей область гиперповерхности: где vn объем единичного re мерного шара. Равенство в И. н. к. имеет место только для шара. И. н. к. дает решение… …   Математическая энциклопедия

  • МИНКОВСКОГО НЕРАВЕНСТВО — 1) Собственно М. н.: если действительные числа при i=l, . . ., n и р>1, то Выведено Г. Минковским [1]. При неравенство заменяется на противоположное (для р<0 следует считать ). В каждом из этих случаев равенство имеет место тогда и только… …   Математическая энциклопедия

  • Минковский, Герман — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Минковский. Герман Минковский Hermann Minkowski …   Википедия

  • Минковский Г. — Герман Минковский Hermann Minkowski Дата рождения: 22 июня 1864 Место рождения: Алексоты Ковенской губернии Дата смерти: 12 января 1909 Место смерти …   Википедия

  • Миньковский, Герман — Герман Минковский Hermann Minkowski Дата рождения: 22 июня 1864 Место рождения: Алексоты Ковенской губернии Дата смерти: 12 января 1909 Место смерти …   Википедия

  • Миньковский Герман — Герман Минковский Hermann Minkowski Дата рождения: 22 июня 1864 Место рождения: Алексоты Ковенской губернии Дата смерти: 12 января 1909 Место смерти …   Википедия

  • СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ТЕОРИЯ — раздел теории выпуклых тел, изучающий функционалы, возникающие при рассмотрении линейных комбинаций тел (см. Сложение множеств). Объем Vлинейной комбинации выпуклых тел К i в евклидовом пространстве с коэффициентами является однородным… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»