Список пределов

Это список пределов и правил их вычисления для основных функций. В ниже перечисленных примерах a и b являются константами относительно x.

Содержание

1 Общие свойства пределов
2 Пределы, связанные с известными константами
3 Простые функции
4 Логарифмические и показательные функции
5 Тригонометрические функции
6 Пределы в районе бесконечности

Общие свойства пределов

Пусть $\lim_{x \to c} f(x) = L_1$ и $\lim_{x \to c} g(x) = L_2$ . Тогда:

- $\lim_{x \to c} \, [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2$
- $\lim_{x \to c} \, [f(x)g(x)] = L_1 \times L_2$
- $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2}$ , если $L_2 \ne 0$
- $\lim_{x \to c} \, f(x)^a = L_1^a$ , если число в правой части и все значения левой функции в окрестности т. x=c существуют.

$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ , если $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0$ , или $\lim_{x \to c} |g(x)| = +\infty$ (Правило Лопиталя)

$\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}=f'(x)$ (определение производной)

$\lim_{h\to0}\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)^\frac{1}{h}=\exp\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)$

$\lim_{h \to 0}{ \left({f(x(1+h))\over{f(x)}}\right)^{1\over{h}} }=\exp\left(\frac{x f'(x)}{f(x)}\right)$

Пределы, связанные с известными константами

$\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$ (константа Непера)

$\lim_{x\to+\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}$

$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

$\lim_{n\to \infty }\, 2^{n} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\text{...} +\sqrt{2}}}}}_n= \pi$ (пи)

Простые функции

$\lim_{x \to c} a = a$

$\lim_{x \to c} x = c$

$\lim_{x \to c} P(x) = P(c)$ , где $P(x)$ — многочлен.

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^r} = +\infty$

$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^r} = -\infty$ , если r нечётно, и $+\infty$ , если r чётно.

Логарифмические и показательные функции

При $a > 1: \,$

$\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty$

$\lim_{x \to \infty} \log_a x = +\infty$

$\lim_{x \to -\infty} a^x = 0$

$\lim_{x \to \infty} a^x = +\infty$

Тригонометрические функции

$\lim_{x \to a} \sin x = \sin a$

$\lim_{x \to a} \cos x = \cos a$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0$

$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to n\pm 0} \tan \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) = \mp\infty$ , если n — целое число.

Пределы в районе бесконечности

$\lim_{x\to\infty}a/x=0$ , при любом вещественном a.

$\lim_{x\to\infty}x/a=\begin{cases} \infty, & a > 0 \\ -\infty, & a < 0 \end{cases}$ и не существует при $a=0$ .

$\lim_{x\to\infty}x^a=\begin{cases} \infty, & a > 0 \\ 1, & a = 0 \\ 0, & a < 0 \end{cases}$

$\lim_{x\to\infty}a^x=\begin{cases} \infty, & a > 1 \\ 1, & a = 1 \\ 0, & -1 < a < 1 \end{cases}$

$\lim_{x\to\infty}a^{-x}=\lim_{x\to\infty}1/a^{x}=0$ при любом $a > 1$

$\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{a}=\begin{cases} 1, & a > 0 \\ 0, & a = 0\end{cases}$ и не существует, если $a < 0$ .

$\lim_{x\to\infty}\sqrt[a]{x}= \infty$ при любом $a > 0$

$\lim_{x\to\infty}\log x=\infty$

$\lim_{x\to0^+}\log x=-\infty$

Для улучшения этой статьи по математике желательно^?:

Добавить иллюстрации.
Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Категория:

Пределы

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное

Смотреть что такое "Список пределов" в других словарях:

Список эпизодов телесериала «Дневники вампира» — Список серий сверхъестественного драматического американского телесериала «Дневники вампира», разработанного Кевином Уильямсоном и Джули Плек и снятого по мотивам одноименной серии книг, написанной Лизой Джейн Смит. Пилотная серия была показана… … Википедия
Список рекордов Billboard Hot 100 — (англ. List of Billboard Hot 100 chart achievements and milestones, «достижения горячей сотни Биллборда») включает все рекорды и достижения по результатам подсчета статистики продаж синглов, публикуемой американским журналом Billboard.… … Википедия
Список наиболее значимых игроков ФК «Манчестер Юнайтед» — Чарли Робертс капитан, с которым «Манчестер Юнайтед» выиграл два первых чемпионских титула и первый в своей истории Кубок Англии … Википедия
Список населенных пунктов Фейруна — Фэйрун вымышленный континент мира Абейр Ториль сеттинга Забытых Королевств из серии ролевых игр Dungeons Dragons, являющийся одним из самых детально описанных фэнтезийных континентов[1]. Широко используется в книгах (работы Эда Гринвуда и… … Википедия
Список составов преступлений в РФ — … Википедия
Список звёзд и планетных систем в фантастике — Содержание 1 Ярчайшие звёзды 2 Ближайшие звёзды … Википедия
Список игроков ФК «Манчестер Юнайтед» (100 и более матчей) — Чарли Робертс капитан, с которым «Юнайтед» выиграл свои первые трофеи … Википедия
Список главных тренеров ФК «Астон Вилла» — Ниже представлен список главных тренеров футбольного клуба «Астон Вилла» и их главных достижений с 1874 года и по настоящее время. С 1874 по 1934 год клуб избирал специальный комитет, секретарь которого обладал полномочиями главного тренера… … Википедия
Список федераций и ассоциаций подводного спорта — Здесь представлен список организаций, осуществляющих обучение и сертификацию лиц, занимающихся подводным плаванием. Содержание 1 Наиболее известные в России ассоциации, федерации, клубы подводного плавания … Википедия
Список галактик — Hubble Ultra Deep Field показывает более чем 10 000 галактик в 0,000024 % неба … Википедия

Словари и энциклопедии на Академике

Список пределов

Содержание

Общие свойства пределов

Пределы, связанные с известными константами

Простые функции

Логарифмические и показательные функции

Тригонометрические функции

Пределы в районе бесконечности

Полезное

Смотреть что такое "Список пределов" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Словари и энциклопедии на Академике

Википедия

Список пределов

Содержание

Общие свойства пределов

Пределы, связанные с известными константами

Простые функции

Логарифмические и показательные функции

Тригонометрические функции

Пределы в районе бесконечности

Полезное

Смотреть что такое "Список пределов" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка: