Теорема Хана

Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа: теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты, теорему о разделении выпуклых множеств и теорему о непрерывном продолжении линейного функционала.

Теорема о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты:

Любой линейный функционал $f(x)$ , определённый на подпространстве $L$ линейного пространства $X$ и удовлетворяющий условию

$|f(x)| \leqslant p(x), \forall x \in L$ ,

где $p(x)$ — некоторый положительно однородный функционал (определённый на всем пространстве $X$ ) то $f(x)$ может быть продолжен на все пространство $X$ с сохранением этого условия.

Теорема о непрерывном продолжении линейного функционала:

Всякий линейный ограниченный функционал $f(x)$ , определённый на линейном многообразии $L$ линейного нормированного пространства $X$ , можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.

Из этих теорем вытекает много важных следствий. Одно из них:

Для любых двух различных точек линейного пространства существует линейный функционал, определённый на всем пространстве и такой, что его значения в этих точках различны.

Доказательство

Сначала докажем, что существует продолжение в одном направлении. Пусть $z\in X\setminus Y$ . Рассмотрим линейное пространство вида:

$Y_z\doteq\left\{y+az, \ y\in Y,\ a\in \R\right\}.$

Продолжение $f$ на $Y_z$ запишем:

$\tilde f(y+az)\doteq f(y)+a \tilde f(z),$

где $\tilde f(z)$ — вещественное число, которое необходимо определить. Для произвольных $y_1, y_2\in Y$ и $a,b>0$ выполняется:

$f(ay_1+by_2)=af(y_1)+bf(y_2)=(a+b)f\left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right)\leqslant$

${} \leqslant (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right) =$

${}= (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}(y_1-bz) + \frac{b}{a+b}(y_2+az)\right) \leqslant$

$\leqslant a p(y_1-bz) + b p(y_2+az).$

Отсюда

$a \left(f(y_1) - p(y_1-bz)\right) \leqslant -b\left(f(y_2)-p(y_2+az)\right)$

Как следствие

$\frac{1}{b}\left(-p(y_1-bz)+f(y_1)\right) \leqslant \frac{1}{a}\left(p(y_2+az)-f(y_2)\right)\quad \forall \ y_1,y_2\in Y, \quad \forall a,b>0.$

Определим $c\in \R$ так

$\sup_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ -p(y-az)+f(y)\right]\right\} \leqslant c \leqslant \inf_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ p(y+az)-f(y)\right]\right\}.$

Выполняется равенство

$ac \leqslant p(y+az) -f(y) \quad \forall \ y\in Y, \quad \forall \ a\in \R$ .

Определим

$\tilde f(z)=c.$

Для всех $y\in Y$ и произвольных $a\in \R$ выполняется неравенство:

$\tilde f(y+az)=f(y)+ac \leqslant p(y+az),$

поэтому

$\tilde f(x)\leqslant p(x)\quad \forall\ x\in Y_z.$

Для завершения доказательства используем лемму Цорна. Пусть $E$ является множеством всех возможных продолжений, удовлетворяющих условия теоремы. Данное множество является частично упорядоченным из-за включения областей определения, и каждое линейно упорядоченное подмножество имеет супремум (объединение областей определения). Поэтому по лемме Цорна данное множество имеет максимальный элемент. Данный элемент равен всему пространству, иначе в противном случае можно осуществить дальнейшее продолжение воспользовавшись только определенной конструкцией.

См. также

В этой статье не хватает ссылок на источники информации.

Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 15 мая 2011.

Ссылки

Пугачев В.С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996.

Категории:

Функциональный анализ
Теоремы

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное

Смотреть что такое "Теорема Хана" в других словарях:

Теорема Хана — Банаха — Теоремой Хана Банаха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа: теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты, теорему о разделении выпуклых множеств и теорему о непрерывном… … Википедия
Теорема Хана-Банаха — … Википедия
Теорема Хана—Банаха — … Википедия
Теорема хана-банаха — Жарг. студ. Шутл. Что л. непонятное, странное. Golds, 2001 … Большой словарь русских поговорок
Теорема Крейна — Мильмана — важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах. Для бесконечномерных пространств данная теорема, как и многие другие результаты, не может быть доказана без применения аксиомы выбора … Википедия
ТЕОРЕМА — Пифагора. Жарг. шк. Шутл. Учительница математики. ВМН 2003, 131. Теорема Пофигатора. Жарг. шк. Шутл. Теорема Пифагора. ВМН 2003, 108. Теорема Фаллоса. Жарг. студ. (матем.). Шутл. Теорема Фалеса. (Запись 2003 г.). Теорема хана банаха. Жарг. студ.… … Большой словарь русских поговорок
Теорема Крейна — Мильмана важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах. Для бесконечномерных пространств данная теорема … Википедия
Разложение Хана-Жордана — Заряд вещественнозначная конечно аддитивная функция множества, определённая на некоторой σ алгебре, (например, борелевских подмножеств). В отличие от обычной меры под которой, обычно понимают положительную σ аддитивную функцию множества, заряд… … Википедия
Разложение Хана—Жордана — Заряд вещественнозначная конечно аддитивная функция множества, определённая на некоторой σ алгебре, (например, борелевских подмножеств). В отличие от обычной меры под которой, обычно понимают положительную σ аддитивную функцию множества, заряд… … Википедия
ХАНА - БАНАХА ТЕОРЕМА — линейный функционал f(x), определенный на линейном многообразии Lдействительного или комплексного векторного пространства X, может быть продолжен до линейного функционала F(X), определенного на всем X, если существует полунорма р(х)такая, что для … Математическая энциклопедия

Словари и энциклопедии на Академике

Теорема Хана

Доказательство

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое "Теорема Хана" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Словари и энциклопедии на Академике

Википедия

Теорема Хана

Доказательство

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое "Теорема Хана" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка: