Тест Шура

Тест Шура

В функциональном анализе, Тест Шура (названный в честь математика Исая Шура) действующий для интегральных операторов с ядром действующим L^2\to L^2.

Такой тест позволяет дать оценку норме интегрального оператора что позволяет делать вывод о его непрерывности.

Определение

Пусть S,\,T это два измеримых множества (например \mathbb{R}^n), пусть \,U это интегральный оператор:

(U f)(s)=\int_T K(s,t)f(t)\,dt с ядром K(s,t):S\times T\to\mathbb{R}(\mathbb{C}).

Если найдутся функции \phi :S\to\mathbb{R}>0 и \psi :T\to\mathbb{R}>0 и числа \,A,B>0 такие что:

(1)\qquad \int_S |K(s,t)|\phi(s)\,ds\le A\psi(t)

для почти всех t \in T и

(2)\qquad \int_T |K(s,t)|\psi(t)\,dt\le B\phi(s)

для почти всех s \in S,

Тогда \,U непрерывный оператор действующий \,U:L^2\to L^2 с нормой: \Vert T\Vert_{L^2\to L^2} \le\sqrt{AB}.

(Функции \,\phi, \,\psi называют функциями теста Шура)

Доказательство

|(Uf)(s)|=|\int_T |K(s,t)|\cdot f(t)dt| \le \int_T \sqrt{|K(s,t)|\cdot \psi(t)}\cdot \sqrt{|K(s,t)|\cdot f^2(t)\frac{1}{\psi(t)}}\cdot dt\le
по неравенству Шварца:
\le \sqrt{\int_T |K(s,t)|\cdot \psi(t)\cdot dt}\cdot \sqrt{\int_T |K(s,t)|\cdot|f(t)|^2\frac{1}{\psi(t)}\cdot dt}
возведем в квадрат и проинтегрируем по S:
\int_S |(Uf)(s)|^2\cdot ds\le B\int_S \phi(s) \int_T |K(s,t)|\cdot|f(t)|^2\frac{1}{\psi(t)}\cdot dtds=
далее по теореме Фубини:
=B\int_T \frac{|f(t)|^2}{\psi(t)} \int_S |K(s,t)|\cdot \phi(s)\cdot dsdt\le AB\int_T |f(t)|^2\cdot dt
следовательно извлекая корень:
||U(f)||_2 \le \sqrt{AB}\cdot||f||_2

См. также


Формула
Question book-4.svg
 В этой статье не хватает ссылок на источники информации.
Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 15 мая 2011.



Wiki letter w.svg
 На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии.
Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Тест Шура" в других словарях:

  • Взрывы жилых домов (1999) — Последствия теракта утром 9 сентября 1999 года по улице Гурьянова, дом 19, Москва. Кадр НТВ. Взрывы жилых домов серия террористических актов российских городах (Буйнакске, Москве и Волгодонске) 4 16 сентября 1999 года. В результате терактов 307… …   Википедия

  • A-ONE — Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения …   Википедия

  • Взрывы жилых домов — Последствия теракта утром 9 сентября 1999 года по улице Гурьянова, дом 19, Москва. Кадр НТВ. Взрывы жилых домов серия террористических актов российских городах (Буйнакске, Москве и Волгодонске) 4 16 сентября 1999 года. В результате терактов 307… …   Википедия

  • Взрывы жилых домов 1999-го года — Последствия теракта утром 9 сентября 1999 года по улице Гурьянова, дом 19, Москва. Кадр НТВ. Взрывы жилых домов серия террористических актов российских городах (Буйнакске, Москве и Волгодонске) 4 16 сентября 1999 года. В результате терактов 307… …   Википедия

  • Взрывы жилых домов в России (1999) — Взрывы жилых домов Последствия теракта утром 9 сентября 1999 года по улице Гурьянова, дом 19, Москва. Кадр НТВ. Место атаки …   Википедия

  • Взрывы жилых домов в России — Взрывы жилых домов Последствия теракта утром 9 сентября 1999 года по улице Гурьянова, дом 19, Москва. Кадр НТВ …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»