Тригамма-функция

Тригамма-функция
Тригамма-функция действительного аргумента x

Тригамма-функция в математике является второй из полигамма-функций. Она обозначается \psi_{1}(z) и определяется как

\psi_1(z) = \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}z^2} \ln\Gamma(z) \; ,

где \Gamma(z) — гамма-функция. Из этого определения следует, что

\psi_1(z) = \frac{{\rm d}}{{\rm d}z} \psi(z) \; ,

где \psi(z) — дигамма-функция (первая из полигамма-функций).

Тригамма-функцию можно также определить через сумму следующего ряда:

\psi_1(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{(z + n)^2},

откуда видно, что она является специальным случаем дзета-функции Гурвица (англ. Hurwitz zeta-function),

\psi_1(z) = \zeta(2,z)\; .\frac{}{}

Эти формулы верны, когда z\neq 0, \; -1, \; -2, \; -3, \ldots (в указанных точках функция \psi_{1}(z) имеет квадратичные сингулярности, см. график функции).

Отметим другие обозначения для \psi_{1}(z), используемые в литературе:

\psi'(z), \;\;\; \psi^{(1)}(z)\; .

Иногда термин «тригамма-функция» употребляется для функции {\displaystyle F'(z)=\psi_{1}(z+1)}.

Содержание

Интегральные представления

Используя представление в виде ряда, а также формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можно получить следующее двойное интегральное представление:

\psi_1(z) = \int_0^1\int_0^y\frac{x^{z-1}y}{1 - x}\,{\rm d}x\, {\rm d}y

С помощью интегрирования по частям получается следующее однократное представление:

\psi_1(z) = -\int_0^1\frac{x^{z-1}\ln{x}}{1-x}\,{\rm d}x

Другие формулы

Тригамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

\psi_1(z + 1) = \psi_1(z) - \frac{1}{z^2} \; ,

а также формуле дополнения

\psi_1(1 - z) + \psi_1(z) = \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} \; .

Для тригамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:

\psi_1(kz) = \frac{1}{k^2} \sum_{n=0}^{k-1} \psi_1\left(z+\frac{n}{k}\right)\; .

Приведём также асимптотическое разложение с использованием чисел Бернулли

\psi_1(z+1) = \frac{1}{z} - \frac{1}{2z^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}} .

Частные значения

Ниже приведены частные значения тригамма-функции:

\psi_{1}\!\left(\tfrac14\right) = \pi^2 + 8G
\psi_{1}\!\left(\tfrac13\right) = \tfrac23 \pi^2 + 3\sqrt{3}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac23\pi\right)
\psi_1\!\left(\tfrac12\right) = \tfrac12 \pi^2
\psi_{1}\!\left(\tfrac23\right) = \tfrac23 \pi^2 - 3\sqrt{3}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac23\pi\right)
\psi_{1}\!\left(\tfrac34\right) = \pi^2 - 8G.
\psi_1(1) \; = \tfrac16 \pi^2

где G — постоянная Каталана, а \mathrm{Cl}_2(\theta) — функция Клаузена, связанная с мнимой частью дилогарифма через

\mathrm{Cl}_2(\theta) = \mathrm{Im} \left[ \mathrm{Li}_2\!\left(e^{\mathrm{i}\theta}\right) \right]\; .

Для значений за пределами интервала 0<z\leq 1 можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое выше.

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Тригамма-функция" в других словарях:

  • Полигамма-функция — Дигамма функция …   Википедия

  • Дигамма-функция — В математике дигамма функция определяется как логарифмическая производная гамма функции: Она является полигамма функцией первого порядка, а полигамма функции высших порядков (тригамма функция и т.д.) получаются из неё дифференцированием. Свойства …   Википедия

  • Пси (буква) — Греческий алфавит Αα Альфа Νν Ню …   Википедия

  • Постоянная Каталана — G (англ. Catalan s constant) встречается в различных приложениях математики в частности, в комбинаторике. Её также обозначают буквами K или C. Она может быть определена как сумма бесконечного знакопеременного ряда Её численное значение… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»