Центральный биномиальный коэффициент

Центральный биномиальный коэффициент

В математике n-й центральный биномиальный коэффициент определяется следующим выражением в терминах биномиальных коэффициентах

{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} для всех n \geq 0.

Они получили своё название в связи с тем, что они находятся в точности посередине чётных рядов в треугольнике Паскаля. Первые несколько центральных биномиальных коэффициентов выписаны ниже, начиная с n = 0:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, … последовательность A000984 в OEIS

Свойства

Производящая функция:

\frac{1}{\sqrt{1-4x}} = 1 + 2x + 6x^2 + 20x^3 + 70x^4 + 252x^5 + \cdots.


По формуле Стирлинга получаем:

{2n \choose n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} при n\rightarrow\infty.


Полезные ограничения:

\frac{4^n}{\sqrt{4n}} \leq {2n \choose n} \leq \frac{4^n}{\sqrt{3n+1}} для каждого n \geq 1


Если нужна большая точность:

{2n \choose n} = \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\left(1-\frac{c_n}{n}\right) где \frac{1}{9} < c_n < \frac{1}{8} для всех n \geq 1.


С этим понятием тесно связаны т. н. числа Каталана, Cn. Их формула:

C_n = \frac{1}{n+1} {2n \choose n} = {2n \choose n} - {2n \choose n+1} для каждого n \geq 0.

Можно взять небольшое обобщение центральных биномиальных коэффициентов: { m \choose {\lfloor \frac{m}{2} \rfloor} } Это утверждение — по сути своей, частный случай предыдущего, когда m = 2n, то есть, когда m чётно.

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Центральный биномиальный коэффициент" в других словарях:

  • Бесквадратное число — В математике бесквадратным называется число, которое не делится ни на один квадрат, кроме 1. К примеру, 10  бесквадратное, а 18  нет, так как 18 делится на 9 = 32. Начало последовательности бесквадратных чисел таково: 1, 2, 3, 5, 6, 7,… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»