- Многочлены Якоби
-
Полиномы Якоби - класс ортогональных полиномов. Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.
Ортогональные полиномы Якоби Открыты Якоби, Карл Густав Якоб Формула 
Дифференциальное уравнение 
Определены на ![\ [-1,1]](d6bfb178308b4f10a493b86700042db8.png)
Вес 
Норма 
Примечания Определение
Происходят из гипергеометрических функций в тех случаях, когда последующие ряды конечные[1]:
где
является символом Похгаммера (для растущего факториала), и, таким образом, выводится выражениеОткуда одно из конечных значений следующее
Для целых
где
— обычная гамма-функция, иЭти полиномы удовлетворяют условию ортогональности
для
и 
.Существует отношение симетрии для полиномов Якоби.
а потому еще одно значение полиномов:
Для действительного
полином Якоби может быть записан следующим образом.где
и 
.В особом случае, когда
, 
, 
и 
- неотрицательные целые, полином Якоби может принимать следующий видСумма берется по всем целым значениям
, для которых множители являются неотъемлемыми.Эта формула позволяет выразить d-матрицу Вигнера
(
) в терминах полиномов Якоби[2]Производные
k-тая производная явного выражения приводит к
Примечания
- ↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 561, ISBN 978-0486612720, MR0167642
- ↑ L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)
- Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999), «Special functions», vol. 71, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, MR1688958, ISBN 978-0-521-62321-6; 978-0-521-78988-2
- Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof & Swarttouw, René F., «Orthogonal Polynomials», NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255
Ортогональные многочлены Многочлены Бернштейна — Сеге • Многочлены Бесселя • Многочлены Гегенбауера • Многочлены Гейне — Ахиезера • Многочлены Кравчука • Многочлены Лягерра • Многочлены Лежандра • Многочлены Полачека • Многочлены Чебышева • Многочлены Шарле • Многочлены Эрмита • Многочлены Якоби Категория:- Ортогональные многочлены
![P_n^{(\alpha,\beta)}(x)= (n+\alpha)! (n+\beta)!
\sum_s
\left[s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!\right]^{-1}
\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}.](a71dd80674a86989fc3e2b17d6526e3e.png)
![d^j_{m'm}(\phi) =\left[
\frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}\right]^{1/2}
\left(\sin\frac{\phi}{2}\right)^{m-m'}
\left(\cos\frac{\phi}{2}\right)^{m+m'}
P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi).](405e369c8d321a2fe460cc61fa481f27.png)
Wikimedia Foundation. 2010.
