- Теория Томаса
-
Теория Томаса — Ферми (модель Томаса — Ферми) является квантовомеханической теорией электронной структуры системы многих тел, разработана с использованием квазиклассического приближения вскоре после открытия уравнения Шредингера Энрико Ферми и Люэлином Томасом[1][2]. Она основывается не на волновой функции, а формулируется в терминах электронной плотности и рассматривается как предшественник современной теории функционала плотности. Модель Томаса — Ферми правильна только в пределе бесконечного ядерного заряда. Используя это приближение для реальных систем теория дает плохие количественные предсказания и даже не в состоянии воспроизвести некоторые общие черты, такие как плотность оболочечной структуры атомов и осцилляции Фриделя в твердых телах. Она, однако, нашла приложения во многих областях благодаря возможности получать правильное качественное поведение аналитически и легкость с которой она может быть решена. Выражение кинетической энергии в теории Томаса-Ферми также используется в качестве компонента более сложного приближения для плотности кинетической энергии в современных теориях функционала плотности, где можно обойтись без орбиталей.
Содержание
Кинетическая энергия
Для малого элемента объема ΔV, и для атома в основном состоянии, мы можем заполнить в сферическом пространстве импульсов объем Vf до импульса Ферми pf , и, таким образом,[3]
где
точка в ΔV.Соответствующее фазовое пространство имеет объем
Электроны в ΔVph распределены равномерно с двумя электронами в h3 этого объема фазового пространства, где h постоянная Планка.[4] Тогда число электронов в ΔVph составит
Число электронов в ΔV :
где
плотность электронов.Приравнивая число электронов в ΔV и в ΔVph даёт,
Доля электронов в
чей импульс лежит между импульсами p и p+dp составитИспользуя классическое выражение для кинетической энергии электрона с массой me, кинетической энергии в единице объема в
для электронов атомагде использовалось предыдущее выражение, связывающее
и 
иИнтегрирование кинетической энергии в единице объема
во всем пространстве, приводит к полной кинетической энергии электронов,[5]Этот результат показывает, что полная кинетическая энергия электронов может быть выражена в терминах только пространственно зависимой плотности электронов
согласно модели Томаса-Ферми. Как таковые, они смогли рассчитать энергию атома с помощью этого выражения для кинетической энергии в сочетании с классическими выражениями для ядерно-электронных и электрон-электронных взаимодействий (которые могут быть представлена в виде электронной плотности).Потенциальная энергия
Потенциальная энергия электронов атома, за счет электрического притяжения положительно заряженного ядра:
где
есть потенциальная энергия электрона в точке 
назодящегося в электрическом полем ядра. В случае когда ядро назодится в точке 
и зарядом Ze, где Z представляет собой натуральное число e элементарный заряд,Потенциальная энергия электронов за счет их взаимного электрического отталкивания равна
Полная энергия
Полная энергия электрона равна сумме их кинетической и потенциальной энергий,[6]
Примечания
- ↑ Thomas, L. H. (1927). «The calculation of atomic fields». Proc. Cambridge Phil. Soc. 23 (5): 542–548. DOI:10.1017/S0305004100011683. Bibcode: 1927PCPS...23..542T.
- ↑ Fermi, Enrico (1927). «Un Metodo Statistico per la Determinazione di alcune Prioprietà dell'Atomo». Rend. Accad. Naz. Lincei 6: 602–607.
- ↑ March 1992, p.24
- ↑ Parr and Yang 1989, p.47
- ↑ March 1983, p. 5, Eq. 11
- ↑ March 1983, p. 6, Eq. 15
Литература
- R. G. Parr and W. Yang Density-Functional Theory of Atoms and Molecules. — New York: Oxford University Press, 1989. — ISBN 978-0-19-509276-9
- N. H. March Electron Density Theory of Atoms and Molecules. — Academic Press, 1992. — ISBN 978-0-12-470525-8
- N. H. March 1. Origins – The Thomas–Fermi Theory // Theory of The Inhomogeneous Electron Gas. — Plenum Press, 1983. — ISBN 978-0-306-41207-3
Категория:- Квантовая механика
![\begin{align}
t(\vec{r}) & = \int \frac{p^2}{2m_e} \ n(\vec{r}) \ F_\vec{r} (p) \ dp \\
& = n(\vec{r}) \int_{0}^{p_f(\vec{r})} \frac{p^2}{2m_e} \ \ \frac{4 \pi p^2 } {\frac{4}{3} \pi p_f^3(\vec{r})} \ dp \\
& = C_F \ [n(\vec{r})]^{5/3}
\end{align}](2bdc32c0de99e7d5b4f9d3c903dd42cd.png)
![T=C_F\int [n(\vec{r})]^{5/3}\ d^3r \ .](5b882b0c0b42617723a0308fafa09fe1.png)
![\begin{align}
E & = T \ + \ U_{eN} \ + \ U_{ee} \\
& = C_F\int [n(\vec{r})]^{5/3}\ d^3r \ + \int n(\vec{r}) \ V_N(\vec{r}) \ d^3r \ + \ \frac{1}{2} \ e^2 \int \frac{n(\vec{r}) \ n(\vec{r} \, ')} {\left\vert \vec{r} - \vec{r} \, ' \right\vert } \ d^3r \ d^3r' \\
\end{align}](42213f8ab453bb30a9aff5411d8c8d8f.png)
Wikimedia Foundation. 2010.
