Производящий функционал

Производящий функционал

Производящий функционал — это расширение понятия производящей функции моментов для одномерного / конечномерного распределения Гаусса на континуальное распределение Гаусса.

Содержание

Определение

Производящий функционал корреляционных функций G(A) определяется следующим образом:

G(A) = \langle \exp \left\{ \int\limits_{\Omega} \! \mathrm{d} X \, A_{I}(X) \varphi_{I}(X) \right\} \rangle,

где \langle \ldots \rangle — усреднение по ансамблю. Без сокращений определение производящего функционала для нормированного на 1 континуального распределения Гаусса с квадратичной формой K выглядит следующим образом:

G(A) = \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{1/2} \cdot \int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) + \left( A, \varphi \right) \right\} .

Однако же, обычно это определение записывают в сокращённом виде, опуская значки и интегрирования:

G(A) = \langle e ^{ A \varphi } \rangle.

Связь корреляционных функций с производящим функционалом

Поскольку определение корреляционных функций выглядит следующим образом:

G_n(X_1,X_2, \dots X_n) = \langle \varphi(X_1) \varphi(X_2) \dots \varphi(X_n) \rangle,

связь между производящим функционалом и корреляционными фунциями получается:

G_n(X_1,X_2, \dots X_n) = \left[ \frac{\delta}{\delta A(X_1)} \frac{\delta}{\delta A(X_2)} \dots \frac{\delta}{\delta A(X_n)} G (A) \right] _{A=0},

где \frac{\delta}{\delta A} — вариационная производная. Данная формула является полной аналогией формулы вычисления моментов через производящую функцию моментов для конечномерного распределения Гаусса.

Вычисление корреляционных функций

Для континуальных интегралов выполняется следующая формула:

\int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) + \left( A, \varphi \right) \right\} = \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{-1/2} \exp \left\{ \frac{(A, K^{-1} A)}{2} \right\} .

Видно, что её левая часть — определение (с точностью до нормировки) производящего функционала G(A) . Тогда для парной корреляционной функции получим

G_2(X_1,X_2) = \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{1/2} \cdot \left[ \frac{\delta}{\delta A(X_1)} \frac{\delta}{\delta A(X_2)} \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{-1/2} \exp \left\{ \frac{(A, K^{-1} A)}{2} \right\} \right] _{A=0} = K^{-1}(X_1, X_2).

То есть

G_2(X_1,X_2) = \langle \varphi(X_1) \varphi(X_2) \rangle = K^{-1}(X_1, X_2).

Другие виды производящих функционалов

Ясно, что определённый так как приведено выше функционал

G(A) = \langle e ^{ A \varphi } \rangle

сохранит производящие свойства и для других распределений не зависящих от параметра A . Поскольку существует целый класс физических теорий, плотность распределения \rho[\varphi] в которых задаётся «почти квадратичным» функционалом действия S[\varphi] :

\rho[\varphi] = C \cdot e ^{ - S[\varphi]},

S[\varphi] = \frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) + V[\varphi],

где V[\varphi] — мало, для них определяются собственные производящие функционалы с разным физическим смыслом. Они называются производящими функционалами функций Грина. Среди них: функционал полных функций Грина

G(A) = \frac{\int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ - S[\varphi]+ \left( A, \varphi \right) \right\}}{\int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) \right\}}, [1]

связных функций Грина

W(A) = \ln G(A), [1]

и 1-неприводимых функций Грина

\Gamma(\alpha) = W(A(\alpha)) - \alpha A, \ \alpha(x) = \frac{\delta W(A)}{\delta A(x)}. [2]

Свои названия они получили из-за того, что их разложение согласно теории возмущений по малому параметру (т.н. константе связи) g \sim V[\varphi] в диаграммном представлении состоит для G(A) из всех возможных для данной теории диаграмм, для W(A) только из связных, а для \Gamma(\alpha) только из 1-неприводимых.

Смотри также

Примечания

  1. ↑ 1 2 Васильев, 1998, с. 139-143
  2. ↑ Васильев, 1998, с. 147

Литература

  • Васильев А.Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — Издательство Петербургского института ядерной физики (ПИЯФ), 1998. — ISBN 5-86763-122-2

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Производящий функционал" в других словарях:

  • ПРОИЗВОДЯЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ — функционал функциональные производные к рого по аргументу дают изучаемый набор ф ций Формально П. ф. представляется рядом а ф ции …   Физическая энциклопедия

  • эффективное действие — Производящий функционал для вершинных функций, приближенно описывающих поведение системы с учетом квантовых поправок …   Политехнический терминологический толковый словарь

  • ФОКА МЕТОД ФУНКЦИОНАЛОВ — особый способ формулировки ур ний квантовой теории поля и квантовой теории многих частиц, основанный на введении спец функционального аргумента, носящего вспомогат. характер и по выполнении всех выкладок устремляемого к ну лю. Соответствующие ур… …   Физическая энциклопедия

  • Континуальное распределение Гаусса — было введено в квантовой теории поля как расширение понятия распределения Гаусса для конечномерных векторов на континуальные пространства скалярных и векторных полей. Континуальное распределение активно используется в аппарате функциональных… …   Википедия

  • РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — осн. понятие вероятностей теории и матем. статистики. Р. полностью характеризует случайную величину. Пусть x дискретная случайная величина, принимающая (конечное или бесконечное) счётное множество значений {xn}. Если вероятность реализации… …   Физическая энциклопедия

  • РОЖДЕНИЕ ПАР — частица античастица один из видов взаимопревращенияэлементарных частиц, в к ром в результате эл. магн. или к. л. др. взаимодействияодновременно возникают частица и античастица. Возможность Р. п. (как и аннигиляция пар)предсказывалась как… …   Физическая энциклопедия

  • ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС — случайный процесс, описывающий широкий круг явлений, связанных с размножением и превращением к. л. объектов (напр., частиц в физике, молекул в химии, особей к. л. популяции в биологии и т. п.). Основным математич. предположением, выделяющим класс …   Математическая энциклопедия

  • ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС С ДИФФУЗИЕЙ — модель ветвящегося процесса, в к ром размножающиеся частицы диффундируют в к. л. области G. Пусть область G r мерна, ее граница дG поглощающая, и в самой области частицы независимо друг от друга совершают броуновское движение. Каждая частица в… …   Математическая энциклопедия

  • Теория Черна — Саймонса — Теория Черна Саймонса  это трехмерная топологическая квантовая теория поля типа Шварца, предложенная Эдвардом Виттеном. Теории получила такое название, так как её действие пропорционально форме Черна Саймонса. В физике конденсированного… …   Википедия

  • Теория Черна — Саймонса  это трехмерная топологическая квантовая теория поля типа Шварца, предложенная Эдвардом Виттеном. Теории получила такое название, так как её действие пропорционально форме Черна Саймонса. В физике конденсированного состояния теория… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»