Тест Дики

Тест Дики

Тест Дики — Фуллера (DF-тест, Dickey — Fuller test) — это методика, которая используется в прикладной статистике и эконометрике для анализа временных рядов для проверки на стационарность. Является одним из тестов на единичные корни (Unit root test). Был предложен в 1979 году Дэвидом Дики (англ.) и Уэйном Фуллером (англ.).[1]

За вклад в исследование коинтегрированных процессов с использованием предложенного теста Дики — Фуллера проверки на стационарность, в 2003 году Клайв Грейнджер (Clive Grandger) получил Нобелевскую премию по экономике.[2]

Содержание

Понятие единичного корня

Основная статья: Единичный корень

Временной ряд имеет единичный корень, или порядок интеграции один, если его первые разности образуют стационарный ряд. Это условие записывается как y_t\thicksim I(1) если ряд первых разностей \triangle y_t=y_t-y_{t-1} является стационарным \triangle y_t\thicksim I(0).

При помощи этого теста проверяют значение коэффициента a в авторегрегрессионном уравнении первого порядка AR(1)

y_t=a\cdot y_{t-1}+\varepsilon_t,

где y_t — временной ряд, а \varepsilon — ошибка.

Если a=1, то процесс имеет единичный корень, в этом случае ряд y_t не стационарен, является интегрированным временным рядом первого порядка — I(1). Если |a|<1, то ряд стационарный — I(0).

Для финансово-экономических процессов значение |a|>1 не свойственно, так как в этом случае процесс является «взрывным». Возникновение таких процессов маловероятно, так как финансово-экономическая среда достаточно инерционная, что не позволяет принимать бесконечно большие значения за малые промежутки времени.

Сущность DF-теста

Приведенное авторегрессионное уравнение AR(1) можно переписать в виде:[3]

\triangle y_t=b\cdot y_{t-1}+\varepsilon_t,

где b=a-1, а \triangle — оператор разности первого порядка \triangle y_t=y_t-y_{t-1}.

Поэтому проверка гипотезы о единичном корне в данном представлении означает проверку нулевой гипотезы о равенстве нулю коэффициента b. Поскольку случай «взрывных» процессов исключается, то тест является односторонним, то есть альтернативной гипотезой является гипотеза о том, что коэффициент b меньше нуля. Статистика теста (DF-статистика) — это обычная t-статистика для проверки значимости коэффициентов линейной регрессии. Однако, распределение данной статистики отличается от классического распределения t-статистики (распределение Стьюдента или асимптотическое нормальное распределение). Распределение DF-статистики выражается через винеровский процесс и называется распределением Дики — Фуллера.

Существует три версии теста (тестовых регрессий):

  1. Без константы и тренда
\triangle y_t=b\cdot y_{t-1}+\varepsilon_t.
  1. С константой, но без тренда:
\triangle y_t=b_0+b\cdot y_{t-1}+\varepsilon_t.
  1. С константой и линейным трендом:
\triangle y_t=b_0+b_1\cdot t+b\cdot y_{t-1}+\varepsilon_t.

Для каждой из трёх тестовых регрессий существуют свои критические значения DF-статистики, которые берутся из специальной таблицы Дики — Фуллера (МакКиннона). Если значение статистики лежит левее критического значения (критические значения — отрицательные) при данном уровне значимости, то нулевая гипотеза о единичном корне отклоняется и процесс признается стационарным (в смысле данного теста). В противном случае гипотеза не отвергается и процесс может содержать единичные корни, то есть быть нестационарным (интегрированным) временным рядом.

Критические значения статистики Дики — Фуллера

Критические значения статистики Дики — Фуллера при 1%-ном уровне значимости

Размер выборки AR-модель AR-модель с константой AR-модель с константой и трендом
25 -2,66 -3,75 -4,38
50 -2,62 -3,58 -4,15
100 -2,60 -3,51 -4,04
\infty -2,58 -3,43 -3,96

Для сравнения критическое значение распределения Стьюдента для всех моделей на больших объёмах выборки — 2,33, на малых выборках — 2,5. МакКинноном также выведены приблизительные формулы для оценки критических значений.

Расширенный тест Дики — Фуллера (ADF)

Если в тестовые регрессии добавить лаги первых разностей временного ряда, то распределение DF-статистики (а значит, критические значения) не изменится. Такой тест называют расширенным тестом Дики — Фуллера (Augmented DF, ADF).

Необходимость включения лагов первых разностей связана с тем, что процесс может быть авторегрессией не первого, а более высокого порядка. Рассмотрим на примере модели AR(2):

y_t=a_1y_{t-1}+a_2y_{t-2}+\varepsilon_t.

Данную модель можно представить в виде:

\triangle y_t=(a_1+a_2-1)y_{t-1}-a_2\triangle y_{t-1}+\varepsilon_t.

Если временной ряд имеет один единичный корень, то первые разности по определению стационарны. А поскольку y_{t-1} по предположению нестационарен, то если коэффициент при нём не равен нулю, уравнение противоречиво. Таким образом, из предположения об интегрированности первого порядка для такого ряда следует, что a_1+a_2-1=0. Таким образом, для проверки наличия единичных корней в данной модели следует провести стандартный DF-тест для коэффициента при y_{t-1}, причем в тестовую регрессию должен быть добавлен лаг первой разности зависимой переменной.

Кроме указанной причины также существует и другая — ошибки модели могут не быть белым шумом, а быть некоторым стационарным ARMA-процессом, поэтому следует проверить наличие единичного корня для нескольких лагов. Следует, однако учесть, что увеличение числа лагов приводит к снижению мощности теста. Обычно ограничиваются тремя-четырьмя лагами.

Замечание

Тест Дики — Фуллера, как и многие другие тесты, проверяют наличие лишь одного единичного корня. Однако, процесс может иметь теоретически несколько единичных корней. В этом случае тест может быть некорректным. Поскольку обычно предполагается, что больше трёх единичных корней вряд ли могут встречаться в реальных экономических временных рядах, то теоретически обоснованным является тестирование в первую очередь ряда вторых разностей ряда. Если гипотеза единичного корня для этого ряда отвергается, то тогда тестируется единичный корень в первых разностях. Если на этом этапе гипотеза не отвергается, то исходный ряд имеет два единичных корня. Если отвергается, то проверяется единичный корень в самом временном ряде, как описано выше. На практике часто все делают в обратной последовательности, что не совсем корректно. Для корректных выводов необходимы результаты тестов для вторых и первых разностей наряду с самим временным рядом.

Примечания

  1. ↑ Dickey D. A. and Fuller W. A. Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root / Journal of the American Statistical Association. — 74. — 1979. — p. 427—-431.
  2. ↑ 2003 Nobel Prize in Economics
  3. ↑ Учебные материалы

Литература

  • Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0.

См. также

  • Тест Филипса — Перрона
  • Тест Лейбурна

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Тест Дики" в других словарях:

  • Тест Дики-Фуллера — Тест Дики Фуллера  это методика, которая используется в прикладной статистике и эконометрике для анализа временных рядов для проверки на стационарность. Был предложен в 1979 году Дэвидом Дики (англ.) и Уэйном Фуллером (англ.).[1]… …   Википедия

  • Единичный корень — (англ. Unit root) понятие, используемое в анализе временных рядов (эконометрика), характеризующее свойство некоторых нестационарных временных рядов. Название связано с тем, что т.н. характеристическое уравнение (или характеристический… …   Википедия

  • Коинтеграция — свойство нескольких нестационарных (интегрированных) временных рядов, заключающееся в существовании некоторой их стационарной линейной комбинации. Концепция коинтеграции впервые была предложена Грэнджером в 1981 году. В дальнейшем данное… …   Википедия

  • Top Gear — Логотип передачи Жанр автомобильное телешоу …   Википедия

  • Франция* — (France, Frankreich). Расположение, границы, пространство. С севера Ф. омывает Немецкое море и Ла Манш, с запада Атлантический океан, с юго востока Средиземное море; на северо востоке она граничит с Бельгией, Люксембургом и Германией, на востоке… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Франция — I (France, Frankreich). Расположение, границы, пространство. С севера Ф. омывает Немецкое море и Ла Манш, с запада Атлантический океан, с юго востока Средиземное море; на северо востоке она граничит с Бельгией, Люксембургом и Германией, на… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Список серий мультсериала «Мой друг — Список серий для мультсериала «Мой друг  обезьяна» канала Cartoon Network. Содержание 1 Сезоны 2 Сезон первый (2005 2006) 3 Сезон второй (2006 2007) …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»