Функции Кельвина

Толкование

Функции Кельвина

Функции Кельвина — группа бесселевых функций. Каждая их пара представляют решения дифференциального уравнения:

$x^2\frac{d^2f}{dx^2}+x\frac{df}{dx}-(ix^2+\nu^2)f=0$

Введены Уильямом Томсоном (лордом Кельвином), который исследовал их в приложениях.

Содержание

1 Функции Кельвина первого рода
2 Функции Кельвина второго рода
3 Функции Кельвина третьего рода
4 Ссылки

Функции Кельвина первого рода

Они определяются следующим образом:

$\operatorname{ber}_\nu(x)=\operatorname{Re}\left(e^\frac{i\nu\pi}{2}\cdot I_\nu (x\cdot e^\frac{i\pi}{4})\right)$

$\operatorname{bei}_\nu(x)=\operatorname{Im}\left(e^\frac{i\nu\pi}{2}\cdot I_\nu (x\cdot e^\frac{i\pi}{4})\right)$

где $I_\nu (x)$ — функция Инфельда

Для целых n имеет место разложения в ряд:

$\mathrm{bei}_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \frac{\sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right]}{k! \Gamma(n + k + 1)} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k$

$\mathrm{ber}_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \frac{\cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right]}{k! \Gamma(n + k + 1)} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k$

Функции Кельвина второго рода

Они определяются следующим образом:: $\operatorname{ker}_\nu(x)=\operatorname{Re}\left(e^{-\frac{i\nu\pi}{2}}\cdot K_\nu (x\cdot e^\frac{i\pi}{4})\right)$

$\operatorname{kei}_\nu(x)=\operatorname{Im}\left(e^{-\frac{i\nu\pi}{2}}\cdot K_\nu (x\cdot e^\frac{i\pi}{4})\right)$

где $K_\nu (x)$ — функция Макдональда.

Для целых n имеет место разложения в ряд:

$\mathrm{kei}_n(x) = -\frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{k=0}^{n-1} \sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{(n-k-1)!}{k!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k - \ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Bei}_n(x) - \frac{\pi}{4}\mathrm{Ber}_n(x) + \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{\psi(k+1) + \psi(n + k + 1)}{k! (n+k)!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k$

$\begin{align} \mathrm{ker}_n(x) & = \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{k=0}^{n-1} \cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{(n-k-1)!}{k!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k - \ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Ber}_n(x) + \frac{\pi}{4}\mathrm{Bei}_n(x) \\ & {} \quad + \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{\psi(k+1) + \psi(n + k + 1)}{k! (n+k)!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k \end{align}$

Функции Кельвина третьего рода

Они определяются следующим образом:

$\operatorname{her}_\nu(x)=\operatorname{Re}\left(H^{(1)}_\nu (x\cdot e^\frac{3i\pi}{4})\right)$

$\operatorname{hei}_\nu(x)=\operatorname{Im}\left(H^{(1)}_\nu (x\cdot e^\frac{3i\pi}{4})\right)$

где $H^{(1)}_\nu (x)$ — функция Ханкеля первого рода.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Kelvin Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Категория:

Специальные функции

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное

Смотреть что такое "Функции Кельвина" в других словарях:

КЕЛЬВИНА ФУНКЦИИ — функции Томсона, функции ber(z) и bei(z), her(z) и hei(z), ker(z) и kei(z), к рые определяются следующими соотношениями: где Н v Ганкеля функция, Jv Бесселя функция. При v=0 индекс у знака функции опускается. К. ф. составляют фундаментальную… … Математическая энциклопедия
КЕЛЬВИНА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — преобразование функций, определенных в областях евклидова пространства Rn, при к ром гармонические функции переходят в гармонические. Получено У. Томсоном (лордом Кельвином, [1]). Если и(х) гармонич. функция в области то ее К. п. есть функция… … Математическая энциклопедия
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — бесселевы функции, решения Zv дифференциального уравнения Бесселя где v произвольное действительное или комплексное число (см. Бесселя уравнение). Цилиндрические функции произвольного порядка. Если vне является целым числом, то общее решение… … Математическая энциклопедия
Цилиндрические функции — Цилиндрические функции общее название для специальных функций одного переменного, являющихся решениями обыкновенных дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики,… … Википедия
Преобразование Кельвина — применяется при решении задач Дирихле для уравнения Лапласа в неограниченных областях. Преобразованием Кельвина функции u(x) является функция … Википедия
Список математических функций — Эта страница информационный список. В математике, многие функции и группы функций настолько важны, что заслужили право на собственные имена. Ниже приведён список статей, которые содержат подробные описания некоторых из таких функций … Википедия
Температура — Размерность Θ Единицы измерения СИ К … Википедия
Закон электромагнитной индукции Фарадея — Классическая электродинамика … Википедия
ТЕРМОДИНАМИКА — раздел прикладной физики или теоретической теплотехники, в котором исследуется превращение движения в теплоту и наоборот. В термодинамике рассматриваются не только вопросы распространения теплоты, но и физические и химические изменения, связанные … Энциклопедия Кольера
Теорема о равнораспределении — Тепловое движение α пептида. Сложное дрожащее движение атомов, составляющих пептид, случайно, и энергия отдельного атома флуктуирует в широких пределах, но с помощью закона равнораспределения вычисляют как среднюю кинетическую энергию каждого… … Википедия

Словари и энциклопедии на Академике

Функции Кельвина

Содержание

Функции Кельвина первого рода

Функции Кельвина второго рода

Функции Кельвина третьего рода

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое "Функции Кельвина" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Словари и энциклопедии на Академике

Википедия

Функции Кельвина

Содержание

Функции Кельвина первого рода

Функции Кельвина второго рода

Функции Кельвина третьего рода

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое "Функции Кельвина" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка: