Правильный 65537-угольник

65537-угольник или окружность?

Правильный 65537-угольник (шестѝдесятипятиты̀сячпятисо̀ттридцатисемиуго́льник) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников, состоящая из 65537 углов и 65537 сторон. По причине малости центрального угла в графическом изображении правильный 65537-угольник почти не отличается от окружности (см. иллюстрацию справа).

Построение

Отличительная особенность 65537-угольника — это тот факт, что его возможно построить, используя только циркуль и линейку.

Число 65537 — это самое большое известное простое число Ферма:

.

Гауссом в 1836 году было доказано, что правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой, если нечётные простые делители n являются различными числами Ферма. В 1836 П. Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует. Ныне это утверждение известно как теорема Гаусса — Ванцеля.

В 1894 же году Иоганн Густав Гермес после более чем десятилетних исследований нашёл способ построения правильного 65537-угольника и описал его в рукописи размером более 200 страниц ^[1] (оригинал рукописи хранится в библиотеке Гёттингенского университета).

Один слишком навязчивый аспирант довёл своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением.[2] Дж. Литлвуд

Пропорции

Углы

Центральный угол равен   .

Внутренний угол равен   .

Наглядное представление

Следующие соображения могут служить для иллюстрации пропорций практически не представимой фигуры:

• Отклонение центрального угла от 0°, а также отклонение внутреннего угла от 180° составляет всего лишь примерно 0,005°. Если приподнять за один конец лежащую на земле жердь длиной 104,3 метра только на один сантиметр, то она образует с землёй примерно этот угол.

• Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 см, то его диаметр будет больше 200 м.
• Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 м, то разница между радиусами его вписанной и описанной окружностей (диаметр каждой из которых будет около 10 км) составит всего лишь около 0,024 мм.
• Если нарисовать 65537-угольник диаметром 20 см, то длина одной его стороны окажется менее одной десятой толщины самого тонкого человеческого волоса.

Ссылки

1. ↑ Johann Gustav Hermes (1894). «Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile». Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 3: 170–186. (нем.)
2. ↑ Дж. Литлвуд Математическая смесь. — М.: Наука, 1990. — С. 43. — ISBN 5-02-014332-4

• Weisstein, Eric W. 65537-угольник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Правильные многоугольники
Основные	Треугольник • Квадрат • Пятиугольник • Шестиугольник • Семиугольник • Восьмиугольник • Девятиугольник • Семнадцатиугольник • 257-угольник • 65537-угольник
См. также	Многоугольник • Теорема Гаусса — Ванцеля

Многоугольники
По числу вершин	1-10 Одноугольник • Двуугольник • Треугольник • Четырёхугольник (Дельтоид) • Пятиугольник • Шестиугольник • Семиугольник • Восьмиугольник • Девятиугольник • Десятиугольник 11-20 Одиннадцатиугольник (англ.) • Двенадцатиугольник
Правильные	Выпуклые Треугольник • Четырёхугольник • Пятиугольник • Шестиугольник • Семиугольник • Восьмиугольник • Девятиугольник • ... • 17-угольник • ... • 257-угольник • ... • 65537-угольник Звёздчатая форма Звезды (Пентаграмма • Гексаграмма • Октаграмма)
Выпуклые	Четырёхугольники: Параллелограмм • Прямоугольник • Ромб • Трапеция Планигон
См. также	Теория и практика: Принадлежность точки многоугольнику • Теорема Бойяи — Гервина • Теорема Брахмагупты • Теорема Гаусса — Ванцеля • Формула Пика • Теорема о сумме углов многоугольника