Суммы Вейля

Суммы Вейля

Содержание

Определение

Суммами Вейля называются тригонометрические суммы вида

\displaystyle\sum_{a<n\leqslant b}e^{2\pi i f(n)},

где n\in\mathbb{Z}, а функция

f(x) = \alpha_k x^k + \alpha_{k-1}x^{k-1} + \ldots + \alpha_1 x + \alpha_0\in \mathbb{R}[x]

есть многочлен степени k с вещественными коэффициентами. Название "суммы Вейля" для тригонометрических сумм такого вида было предложено И.М. Виноградовым в честь впервые подробно рассмотревших их Г. Вейля.

Рациональные суммы Вейля

Важным примером сумм Вейля являются рациональные суммы Вейля, когда все коэффициенты многочлена f(x) — рациональные числа. Более точно, рациональными суммами Вейля (по модулю m) называются суммы Вейля с функцией f(x)=\frac{P_k(x)}{m}:

\displaystyle\sum_{a<n\leqslant b}e^{2\pi i\frac{P_k(n)}{m}},

где m>1 — некоторое фиксированное целое число, n\in\mathbb{Z}, а

P_k(x) = a_k x^k + a_{k-1}x^{k-1} + \ldots + a_1 x + a_0\in \mathbb{Z}[x]

есть многочлен степени k с целыми коэффициентами.

Примеры рациональных сумм Вейля

  • Если f(x)=ax, то указанная сумма является линейной тригонометрической суммой.
  • Если m=p — простое число, то суммы Вейля с многочленом f(x)=ax^k (k>1) называются суммами Гаусса порядка k, а при k=2 — суммами Гаусса.
  • Если m=p — простое число, то для каждого n, не кратного p, в поле вычетов \mathbb{Z}_p всегда существует число n^*, обратное к n:
n^*n\equiv 1 \mod p, и при этом n^*\equiv n^{p-2} \mod p.
Таким образом, суммы Вейля с многочленом f(x) = ax^{p-1}+bx могут быть записаны в виде
\displaystyle{\sum_{a<n\leqslant b}}'e^{2\pi i\frac{an^*+bn}{p}},
(штрих у знака суммы означает, что суммирование ведется по всем n, не кратным p) и называются суммами Клоостермана.

Оценки сумм Вейля

Оценки сумм Вейля играют важную роль в многих задачах аналитической теории чисел. Существует несколько методов оценки сумм Вейля. Наиболее простой и известный из них — метод Гаусса.

Литература

  • Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.
  • И.М. Виноградов. Избранные труды. М., 1952.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Суммы Вейля" в других словарях:

  • ВЕЙЛЯ МЕТОД — в теории чисел метод для получения нетривиальных оценок тригонометрич. сумм вида где а an,...,a1 любые действительные числа. В. м. был разработан Г. Вейлем [1] для установления критериев равномерного распределения (см. Вейля критерий). Сущность В …   Математическая энциклопедия

  • Вейль, Герман — У этого термина существуют и другие значения, см. Вейль. Герман Клаус Гуго Вейль Hermann Klaus Hugo Weyl Дата рождения: 9 ноября 1885( …   Википедия

  • Вейль Герман — Герман Клаус Гуго Вейль Hermann Klaus Hugo Weyl Дата рождения: 9 ноября 1885 Место рождения: Германия, Шлезвиг Гольштейн, Эльмсхорн Дата смерти …   Википедия

  • Вейль Г. — Герман Клаус Гуго Вейль Hermann Klaus Hugo Weyl Дата рождения: 9 ноября 1885 Место рождения: Германия, Шлезвиг Гольштейн, Эльмсхорн Дата смерти …   Википедия

  • Вейль Герман — Вейль (Weyl) Герман (9.11.1885, Эльмсхорн, Шлезвиг Гольштейн, ‒ 8.12.1955, Цюрих), немецкий математик. Окончил Гёттингенский университет (1908). В 1913‒30 профессор Цюрихского политехнического института, в 1930‒33 профессор Гёттингенского… …   Большая советская энциклопедия

  • Вейль — I (Weyl)         Герман (9.11.1885, Эльмсхорн, Шлезвиг Гольштейн, 8.12.1955, Цюрих), немецкий математик. Окончил Гёттингенский университет (1908). В 1913 30 профессор Цюрихского политехнического института, в 1930 33 профессор Гёттингенского… …   Большая советская энциклопедия

  • ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ — z ф у нкция, 1) Д. ф. в теории чисел класс аналитич. функций комплексного переменного, состоящий из z функции Римана, ее обобщений и аналогов. Д. ф. и их обобщения в виде L функций (см. Дирихле L функции )лежат в основе современной аналитич.… …   Математическая энциклопедия

  • ВИНОГРАДОВА МЕТОД — новый метод оценок три гонометрич. сумм (см. Тригонометрических сумм метод). В. м. позволяет получить очень точные оценки для широкого класса тригонометрич. сумм, в к рых переменная суммирования пробегает значения последовательных целых чисел,… …   Математическая энциклопедия

  • Карацуба — Карацуба, Анатолий Алексеевич Карацуба Анатолий Алексеевич Дата рождения: 31 января 1937(1937 01 31) …   Википедия

  • Карацуба, Анатолий Алексеевич — Карацуба Анатолий Алексеевич Дата рождения: 31 января 1937 …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»