Экспонента комплексного переменного

Экспонента комплексного переменного

Экспонента комплексного переменного

У этого термина существуют и другие значения, см. Экспонента (значения).

Экспоне́нта (комплексного переменного) — математическая функция, задаваемая соотношением f(z) = ez, где z есть комплексное число.

Вообще говоря, такое определение формально и не имеет достаточной строгости. Поэтому более точно экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты f(x) = ex вещественного переменного x.

Определим формальное выражение

e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}.

Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции ez, т.е. показать, что ez разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

f(z)=e^z=e^x\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}

Сходимость данного ряда легко доказывается:

\left|e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|=\left|\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|\le\sum_{n=0}^\infty\left|\frac{x^n}{n!}\right|=e^{|x|}.

Ряд всюду сходится абсолютно, т.е. вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции f(z) = ez. Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, функция ez является аналитической и определенной.

Комплексная экспонента, в отличие от экспоненты вещественного переменного, периодична. Из формулы Эйлера следует, что

e^{i\varphi}=e^{i(\varphi+2\pi)}.

Отметим, кроме того, что функция ez имеем чисто мнимый предел.

Из периодичности комплексной экспоненты следует, что максимальной областью однолистности будет горизонтальная полоса на комплексной плоскости \{z:2\pi(k-1)<\Im z<2\pi k\}

Литература

  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
  • Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Экспонента комплексного переменного" в других словарях:

  • Экспонента (значения) — Экспонента: Экспонента  функция , где e  основание натуральных логарифмов. Экспонента (комплексного переменного)  функция комплексного переменного , задаваемая соотношением . Экспонента группы  конечной группы   числовая… …   Википедия

  • Экспонента — У этого термина существуют и другие значения, см. Экспонента (значения). График экспоненты. Касательная в нуле у функции …   Википедия

  • Матричная экспонента — Экспонента функция exp(x) = ex, где e основание натуральных логарифмов. Содержание 1 Определение 2 Свойства …   Википедия

  • Мнимая экспонента — Экспонента (комплексного переменного) функция, задаваемая соотношением f(z) = ez. Данное определение в целом формально и не имеет достаточной строгости. Поэтому, и в случае со степенной функцией, будем строго определять экспоненту с помощью… …   Википедия

  • Экспоненциальная функция — Экспонента функция exp(x) = ex, где e основание натуральных логарифмов. Содержание 1 Определение 2 Свойства …   Википедия

  • Комплексный анализ — Комплексный анализ[1], теория функций комплексного переменного (или комплексной переменной; сокращенно ТФКП)  раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента. Содержание 1 Общие понятия …   Википедия

  • Логарифм — График двоичного логарифма Логарифм числа …   Википедия

  • Аналитическое продолжение — В комплексном анализе аналитическим продолжением функции , определённой на множестве , называется аналитическая функция, которая: определена на более широком множестве , содержащем ; в области совпадает с исходной функцией . Автором данного… …   Википедия

  • Комплексный логарифм — Наглядное представление функции натурального комплексного логарифма (главная ветвь). Аргумент значения функции обозначается цветом, а модуль яркостью. Комплексный логарифм аналитическая функция, получаемая распро …   Википедия

  • Показательная функция — Показательная функция  математическая функция , где называется основанием степени, а   показателем степени. В вещественном случае основание степени   некоторое неотрицательное вещественное (действительное) число, а аргументом… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»