Замыкание (геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Замыкание.

Замыка́ние — конструкция, дающая наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множество топологического пространства.

Замыкание множества $S$ обычно обозначается $\bar S$

Содержание

1 Определения
- 1.1 Как наименьшее замкнутое множество
- 1.2 Через точки прикосновения
2 Свойства
- 2.1 Примеры

Определения

Следующие два определения равносильны.

Как наименьшее замкнутое множество

Пусть $S$ есть подмножество тополочического пространства $X$ . Замыканием $S$ в $X$ называется пересечение всех замкнутых множеств содержащих $S$ .

Замечание. Поскольку пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто, замыкание всегда замкнуто.

Через точки прикосновения

Точка $x$ тополочического пространства $X$ называется точкой прикосновения множества $S$ если любая окрестность $x$ содержит хотя бы одну точку множества $S$ .

Множество всех точек прикосновения $S$ называется замыканием $S$ .

Свойства

Замыкание множества замкнуто.
Замыкание множества содержит само множество, то есть

$S\subset\bar{S}$ .
Замыкание множества содержит все его предельные точки.
Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, то есть

$S=\bar{S}$ .
$\bar{\bar{S}}=\bar{S}.$
Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть

$(S\subset T)\Rightarrow(\bar{S}\subset\bar{T}).$
Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть

$\overline{S\cup T}=\bar{S}\cup\bar{T}.$

Замыкание пересечения является подмножеством пересечения замыканий, то есть

$\overline{S\cap T}\subset\bar{S}\cap\bar{T}.$

Примеры

Во всех нижеследующих примерах топологическим пространством является числовая прямая $\mathbb{R}$ с заданной на ней стандартной топологией.

$\overline{(a,\;b)}=[a,\;b]$ ;
$\bar{\Q}=\R$ , где $\Q$ — множество рациональных чисел.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации.

Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 13 мая 2011.

Категории:

Общая топология
Математический анализ

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное

Смотреть что такое "Замыкание (геометрия)" в других словарях:

Замыкание (математика) — Замыкание: Термины В математике Замыкание (геометрия) Алгебраическое замыкание поля Оператор замыкания Замыкание отношения Замыкание относительно операции Замыкание (программирование) подпрограмма, сохраняющая контекст (привязку к переменным)… … Википедия
Замыкание множества — Замыкание: Термины В математике Замыкание (геометрия) Алгебраическое замыкание поля Оператор замыкания Замыкание отношения Замыкание относительно операции Замыкание (программирование) подпрограмма, сохраняющая контекст (привязку к переменным)… … Википедия
Замыкание — В Викисловаре есть статья «замыкание» Замыкание процесс или результат действия, сводящегося к ограничению или спрямлению чего либо … Википедия
Шар (метрическая геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Шар. Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии. Содержание 1 Определения 1.1 Замечания … Википедия
Замкнутое множество — Для термина «Замкнутость» см. другие значения. Замкнутое множество подмножество пространства дополнение к которому открыто. Содержание 1 Определение 2 Замыкание 3 Свойства … Википедия
Оператор замыкания — Оператор замыкания обобщение интуитивной концепции замыкания. Именно: если частично упорядоченное множество, оператор будет называться оператором замыкания, если выполнены три условия: (экстенсивность), влечёт (монотонность) … Википедия
ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТЬ — в непосредственном понимании Двумерная поверхность трехмерного евклидова пространства, к рая в каждой своей точке имеет отрицательную гауссову кривизну К<0. Простейшие примеры: однополостный гиперболоид (рис. 1, а), гиперболический параболоид… … Математическая энциклопедия
КАРТАНА МЕТОД ВНЕШНИХ ФОРМ — дифференциально алгебраический метод исследования систем дифференциальных уравнений и многообразий с различными структурами. Алгебраич. основу метода составляет алгебра Грассмана. Пусть Vесть 2n мерное векторное пространство над произвольным… … Математическая энциклопедия
Выпуклая оболочка — Выпуклой оболочкой множества называется наименьшее выпуклое множество, содержащее . «Наименьшее множество» здесь означает наименьший элемент по отношению к вложению множеств, то есть такое выпуклое множество, содержащее данную фигуру, что оно… … Википедия
Ходьба человека — Сюда перенаправляется запрос «Прямохождение». На эту тему нужна отдельная статья. Ходьба человека наиболее естественная локомоция человека. Автоматизированный двигательный акт, осуществляющийся в результате сложной координированной деятельности… … Википедия

Словари и энциклопедии на Академике

Замыкание (геометрия)

Содержание