Формула Кирхгофа

Формула Кирхгофа

Фо́рмула Кирхго́фа — аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём трёхмерном пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного (Формула Пуассона) и одномерного (Формула Д’Аламбера) уравнения.

Содержание

Полная формулировка задачи и ответа

Рассмотрим уравнение

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\triangle u = f, где функции u=u(\mathbf{x},t) и f=f(\mathbf{x},t) определены на (\mathbf{x},t)\in\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^+, а \triangle — оператор Лапласа.

Это уравнение определяет распространение бегущей волны в n-мерной однородной среде со скоростью a в моменты времени t>0.

Для того, чтобы решение было однозначным, необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют состояние пространства (или, говорят, «начальное возмущение») в момент времени t=0:

u|_{t=0}=\varphi_0(\bar{x}),\quad \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\varphi_1(\bar{x})

Тогда обобщённая формула Кирхгофа даёт решение этой задачи в трёхмерном случае:

u(\mathbf{x},t)= \frac{\partial}{\partial t}\left [ \frac{1}{4\pi a^2t}\iint\limits_{S}\varphi_0(\mathbf{y})d^2 S_n \right ] + \frac{1}{4\pi a^2t}\iint\limits_{S}\varphi_1(\mathbf{y})d^2 S_n + \frac{1}{4\pi a^2}\iiint\limits_{\left | \mathbf{x}-\mathbf{y}\right | \leqslant at}\frac{f\left ( \mathbf{y}, t-\frac{\left | \mathbf{x}-\mathbf{y}\right | }{a}\right ) }{\left | \mathbf{x}-\mathbf{y}\right | }d^3\mathbf{y}

где поверхностные интегралы берутся по сфере S: \left | \mathbf{x}-\mathbf{y}\right | =at.

Сам Кирхгоф рассматривал только трёхмерный случай.

Простой вывод решения основной задачи использует преобразование Фурье.

Физические следствия

Передний и задний волновые фронты от локализованного в пространстве возмущения действуют на наблюдателя в течение ограниченного отрезка времени

Пусть в начальный момент времени t=0 на некотором компакте M есть локальное возмущение (\varphi_0\ne0 и/или \varphi_1\ne0). Если мы находимся в некоторой точке \bar{x}_0\in\mathbb{R}^3, то, как видно из формулы (область интегрирования), возмущение мы почувствуем через время t_1=\frac{1}{a}\inf_{\bar{y}\in M}\left | \bar{y} - \bar{x}_0\right |.

Вне отрезка времени \left [ t_1; t_2 \right ], где t_2=\frac{1}{a}\sup_{\bar{y}\in M}\left | \bar{y} - \bar{x}_0\right |, функция u(x 0, t) равна нулю.

Таким образом, начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке пространства действие, локализованное во времени, то есть возмущение распространяется в виде волны, имеющей передний и задний фронты, что выражает принцип Гюйгенса). На плоскости же этот принцип нарушается. Обоснованием этого является тот факт, что носитель возмущения, компактный в \mathbb{R}^2, уже не будет компактным в \mathbb{R}^3, а будет образовывать бесконечный цилиндр, и, следовательно, возмущение будет неограниченно во времени (у цилиндрических волн отсутствует задний фронт).[1]

Формула Пуассона-Парсеваля

Решение уравнения колебаний мембраны (двумерного пространства)

u_{tt}=a^2 \triangle u + f
(функция f(x,t) соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

u(0,x)=\varphi(x),\quad u_t(0,x)=\psi(x)

задаётся формулой:

u(\bar{x},t)=u(x_1,x_2,t)= \frac{1}{2\pi a}\int\limits_0^t\iint\limits_{r<a(t-\tau)}\frac{f(y_1,y_2,t)dy_1 dy_2 d\tau}\sqrt{a^2(t-\tau)^2-(y_1-x_1)^2-(y_2-x_2)^2}+

+\frac{\partial}{\partial t}\frac{1}{2\pi a}\iint\limits_{r<at}\frac{\varphi(y_1,y_2)dy_1 dy_2}\sqrt{a^2t^2-(y_1-x_1)^2-(y_2-x_2)^2} +\frac{1}{2\pi a}\iint\limits_{r<at}\frac{\psi(y_1,y_2)dy_1 dy_2}\sqrt{a^2t^2-(y_1-x_1)^2-(y_2-x_2)^2}.

Формула Д'Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения

u_{tt}=a^2 u_{xx} + f\quad (функция f(x,t) соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

u(0,x)=\varphi(x),\quad u_t(0,x)=\psi(x)

имеет вид[2]

u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}+\frac{1}{2a}\int\limits^t_0\int\limits^{x+a(t-\tau)}_{x-a(t-\tau)} f(s,\tau)ds d\tau
В область II приходят характеристики только из одного семейства

При пользовании формулой Д’Аламбера следует учесть, что иногда решение может не быть единственным во всей рассматриваемой области \mathbb{R}^1\times[0, T]. Решение волнового уравнения представляется в виде суммы двух функций: u(x,t)=f(x+at)+g(x-at), то есть оно определяется двумя семействами характеристик: x+at=\xi,\ x-at=\eta. Пример, показанный на рисунке справа, иллюстрирует волновое уравнение для полубесконечной струны, и начальные условия в нём заданы только на зеленой линии x≥0. Видно, что в область I приходят как ξ-характеристики, так и η-характеристики, в то время как в области II есть только ξ-характеристики. То есть, в области II формула Д’Аламбера не работает.

Применение формул

В общем виде формула Кирхгофа довольно громоздка, а потому решение задач математической физики с её помощью обычно является затруднительным. Однако, можно воспользоваться линейностью волнового уравнения \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\triangle u+f(\bar{x},t) с начальными условиями u(\bar{x},0)=\varphi_0(\bar{x}),\ u_t(\bar{x},0)=\varphi_1(\bar{x}) и искать решение в виде суммы трех функций: u(x,t)=A(x,t)+B(x,t)+C(x,t), которые удовлетворяют следующим условиям:

\frac{\partial^2 A}{\partial t^2}=a^2\triangle A+f(\bar{x},t), \qquad A(\bar{x},0)=0,\ A_t(\bar{x},0)=0;
\frac{\partial^2 B}{\partial t^2}=a^2\triangle B, \qquad B(\bar{x},0)=\varphi_0(\bar{x}),\ B_t(\bar{x},0)=0;
\frac{\partial^2 C}{\partial t^2}=a^2\triangle C, \qquad C(\bar{x},0)=0,\ \mathit{C}_t(\bar{x},0)=\varphi_1(\bar{x}).

Сама по себе такая операция не упрощает пользование формулой Кирхгофа, но для некоторых задач оказывается возможным подбор решения, либо сведение многомерной задачи к одномерной путем замены переменных. Например, пусть \varphi_1(x,y,z)=\frac{1}{1+(x+3y-2z)^2}. Тогда, сделав замену \xi=x+3y-2z, уравнение для задачи «С» примет вид:

\frac{\partial^2 C}{\partial t^2}=14a^2\frac{\partial^2 C}{\partial \xi^2}, \qquad \mathit{C}(\xi,0)=0,\ C_t(\xi,0)=\frac{1}{1+\xi^2}.

Таким образом, пришли к одномерному уравнению, а, значит, можно воспользоваться формулой Д’Аламбера:

C(\xi,t)=\frac{1}{2\sqrt{14}a}\int\limits_{\xi-\sqrt{14}at}^{\xi+\sqrt{14}at}\frac{d\eta}{1+\eta^2}=\frac{1}{2\sqrt{14}a}\left ( \operatorname{arctg}(\xi+\sqrt{14}at)-\operatorname{arctg}(\xi-\sqrt{14}at)\right ) .

В силу четности начального условия, решение сохранит свой вид во всей области t>0.

Примечания

  1. ↑ КИРХГОФА ФОРМУЛА // Физическая энциклопедия / Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов, Б. К. Вайнштейн, С. В. Вонсовский, А. В. Гапонов-Грехов, С. С. Герштейн, И. И. Гуревич, А. А. Гусев, М. А. Ельяшевич, М. Е. Жаботинский, Д. Н. Зубарев, Б. Б. Кадомцев, И. С. Шапиро, Д. В. Ширков; под общ. ред. А. М. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988—1998.
  2. ↑ Формула Д’Аламбера в Физической энциклопедии

Литература

  • Михайлов В.П., Михайлова Т.В., Шабунин М.И. Сборник типовых задач по курсу Уравнения математической физики. — М.: МФТИ, 2007. — ISBN 5-7417-0206-6

Ссылки


Wiki letter w.svg
 Для улучшения этой статьи желательно?:
  • Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Формула Кирхгофа" в других словарях:

  • Формула Д'Аламбера — Формула Кирхгофа  аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного… …   Википедия

  • Формула Д’Аламбера — Формула Кирхгофа  аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного… …   Википедия

  • Формула Пуассона — Формула Кирхгофа  аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного… …   Википедия

  • КИРХГОФА ФОРМУЛА — Кирхгофа интеграл, формула которая выражает значение и( х, t )решения неоднородного волнового уравнения в любой точке х=( х 1, х 2, x3 )ОWв момент времени tчерез запаздывающий объемный потенциал с плотностью f и через значения функции и( у, t )и… …   Математическая энциклопедия

  • КИРХГОФА ФОРМУЛА — ф ла, выражающая регулярное решение и (х, t )неоднородного волнового уравнения в трёхмерном пространстве через нач. данные задачи Коши и (х,0)= ( х), ut (х,0) = = ( ас )и объёмный запаздывающий потенциал ( х, t) с плотностью f(y, t) …   Физическая энциклопедия

  • Матрица Кирхгофа — (Laplacian matrix) одно из представлений графа с помощью матрицы. Матрица Кирхгофа используется для подсчета остовных деревьев данного графа (матричная теорема о деревьях), а также используется в спектральной теории графов. Содержание 1… …   Википедия

  • Закон излучения Кирхгофа — У этого термина существуют и другие значения, см. Закон Кирхгофа. Закон излучения Кирхгофа  физический закон, установленный немецким физиком Кирхгофом в 1859 году. В современной формулировке закон звучит следующим образом: Отношение… …   Википедия

  • Опыты Кирхгофа — Впервые исследование спектров поглощающих одноатомный газ, имеющий линейчатые спектры испускания, пропуская через него белый свет были сделаны в 1854 году, и выполнил их Густав Кирхгоф. Содержание 1 Исследование Кирхгофа 2 Примечания …   Википедия

  • ПУАССОНА ФОРМУЛА — 1) То же, что Пуассона интеграл.2) Формула, дающая интегральное представление решения задачи Коши для волнового уравнения в пространстве : и имеющая вид (1) где среднее значение функции j на сфере Sat в пространстве ( х, у, z) радиуса at с… …   Математическая энциклопедия

  • закон излучения Кирхгофа — [Kirchhoffs radiation law) отношение излучательной способности ε0(λ, Т) тел к их поглощательной способности α(λ, Т) не зависит от природы излучения тела, равно излучательной способности абсолютно черного тела ε(λ, Т) не зависит от длины волны… …   Энциклопедический словарь по металлургии


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»