Интерполяционные формулы

Интерполяционные формулы

Интерполяционные формулы — в математике формулы, дающие приближённое выражение функции \ y=f(x) при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен \ P_n(x) степени \ n, значения которого в заданных точках x_0, \ x_1, \ \ldots, \ x_n совпадают со значениями y_0, \ y_1, \ \ldots, \ y_n функции \ f в этих точках. Многочлен \ P_n(x) определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

Содержание

Интерполяционная формула Лагранжа

Основная статья: Интерполяционный многочлен Лагранжа

Функция f(x)=f_0+f_1 x+f_2 x^2+\ldots может быть интерполирована на отрезке [x_0, x_n] интерполяционным многочленом P_n(x), записанным в форме Лагранжа:

f(x) \approx P_n(x) = \sum_{k=0}^n y_k \frac {(x-x_0)(x-x_1) \ldots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1}) \ldots (x-x_n)} {(x_k-x_0)(x_k-x_1) \ldots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1}) \ldots (x_k-x_n)},

при этом ошибка интерполирования функции \ f(x) многочленом \ P_n(x):

|f(x)-P_n(x)|\le \frac {\|f^{(n+1)}(x)\|} {(n+1)!}\cdot \|\Pi_n(x)\|, \qquad \Pi_n(x)=(x-x_0)(x-x_1) \ldots (x-x_n).

В пространстве вещественных непрерывных функций соответствующие нормы принимают вид:

\|f^{(n+1)}(x)\|= \max_{x \in [x_0,x_n]}|f^{(n+1)}(x)|, \qquad \|\Pi_n(x)\|=\max_{x \in [x_0,x_n]}|\Pi_n(x)|.

Интерполяционная формула Ньютона

Основная статья: Интерполяционные формулы Ньютона

Если точки x_0,\ x_1,\ \ldots,\ x_n расположены на равных расстояниях \ (x_k = x_0 + kh), многочлен \ P_n(x) можно записать так:

P_n(x_0 + th) = y_0 + \frac{t}{1!} \Delta y_0 + \frac{t(t-1)}{2!} \Delta^2 y_0 + \ldots + \frac{t(t-1) \cdots (t-n+1)}{n!} \Delta^n y_0

(здесь \ x_0 + th = x, а \ \Delta^k — разности k-го порядка: \ \Delta^k y_i = \Delta^{k-1} y_{i+1} - \Delta^{k-1} y_i ). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения \ y, соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от \ x_0. Эта формула удобна при интерполировании функций для значений \ x, близких к \ x_0. При интерполировании функций для значений \ x, близких к \ x_k, формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).

Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой k-й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона).

Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона для случая равноудаленных узлов:

P_n(x)=\sum_{m=0}^{n}\left( C_x^m \sum_{k=0}^m(-1)^k\,C_m^k\,f_{m-k}\right)

где C_x^m — обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Интерполяционная формула Стирлинга

f(x_0 + th) = y_0 \ + \ \frac{t}{1!} \mu \delta y_0 \ + \ \frac{t^2}{2!} \delta^2 y_0 \ + \ \frac{t(t^2- 1^2)}{3!} \mu \delta^3 y_0 \ + \ \frac{t^2(t^2-1^2)}{4!} \delta^4 y_0 \ + \


\ + \ \frac{t(t^2-1^2)(t^2-2^2)}{5!} \mu \delta^5 y_0 \ + \ \cdots \ + \ \frac{t^2(t^2-1^2)(t^2-2^2) \cdots [t^2-(k-1)^2]}{(2k)!} \delta^{2k} y_0

(о значении символа \ \mu и связи центральных разностей \ \delta^m с разностями \ \Delta^ m см. Конечных разностей исчисление) применяется при интерполировании функций для значений \ x, близких к одному из средних узлов \ a; в этом случае естественно взять нечётное число узлов x_{-k},\ \ldots,\ x_{-1},\ x_0,\ x_1,\ \ldots,\ x_k, считая \ a центральным узлом \ x_0.

Интерполяционная формула Бесселя

f(x_0 + th) \approx \mu y_{1/2} \ + \ \frac {(t-1/2)}{1!}\delta y_{1/2} \ + \ \frac {t(t-1)}{2!}\mu \delta^2y_{1/2} \ + \ \frac {t(t-1)(t-1/2)}{3!}\delta^3 y_{1/2} \ + \


\ + \ \frac {t(t-1)(t + 1)(t-2)}{4!} \mu\delta^4 y_{1/2} \ + \ \frac {t(t-1)(t + 1)(t-2)(t-1/2)}{5!} \delta^5 y_{1/2} \ + \ \cdots \ \ + \


\ + \ \frac {t(t- 1)(t + 1) \cdots (t-k)(t + k-1)(t-1/2)}{(2k + 1)!}\delta^{2k + 1} y_{1/2}

применяется при интерполировании функций для значений \ x, близких середине \ a между двумя узлами; здесь естественно брать чётное число узлов x_{-k},\ \ldots,\ x_{-1},\ x_0,\ x_1,\ \ldots,\ x_k,\ x_{k+1}, и располагать их симметрично относительно a (x_0\ < a\ <\ x_1).

См. также

Ссылки

Литература

  • Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954;

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Интерполяционные формулы" в других словарях:

  • Интерполяционные формулы Ньютона — Интерполяционные формулы Ньютона  формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования. Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что , то есть , то интерполяционный многочлен можно …   Википедия

  • Интерполяционные формулы —         формулы, дающие приближённое выражение функции у = f (x) при помощи интерполяции (См. Интерполяция), т. е. через интерполяционный многочлен Рn(х) степени n, значения которого в заданных точках x0, x1, ..., хn совпадают со значениями y0,… …   Большая советская энциклопедия

  • Интерполяционная формула — Интерполяционные формулы, формулы, дающие приближённое выражение функции при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен степени , значения которого в заданных точках совпадают со значениями …   Википедия

  • Интерполяционная формула Ньютона — Интерполяционные формулы Ньютона  формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования. Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что xi + 1 − xi = h = const, то есть xi = x0 + ih, то… …   Википедия

  • Интерполяционный многочлен Ньютона — Интерполяционные формулы Ньютона  формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования. Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что xi + 1 − xi = h = const, то есть xi = x0 + ih, то… …   Википедия

  • Интреполирование по формулам Ньютона — Интерполяционные формулы Ньютона  формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования. Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что xi + 1 − xi = h = const, то есть xi = x0 + ih, то… …   Википедия

  • ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ — в вычислительной математике способ приближенного или точного нахождения какой либо величины по известным отдельным значениям этой же или других величин, связанных с ней. На основе И. построен ряд приближенных методов решения математич. задач.… …   Математическая энциклопедия

  • Математическая формула — Эта статья об обозначениях элементарной математики; Для более общего контекста см.: Математические обозначения. Математическая формула (от лат. formula  уменьшительное от forma  образ, вид)  принятая в математике (а также… …   Википедия

  • Остаточный член —         приближённой формулы, разность между точным и приближённым значениями представляемого этой формулой выражения. В зависимости от характера приближённой формулы О. ч. может иметь различный вид. Обычно задача исследования О. ч. состоит в том …   Большая советская энциклопедия

  • Список объектов, названных в честь Исаака Ньютона — Существует несколько математических и физических объектов, названных в честь Исаака Ньютона: Содержание 1 Теоремы 2 Законы 3 Уравнения 4 …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»