Граница (топология)

Граница (топология)
У этого термина существуют и другие значения, см. Граница.

Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

Содержание

Определение

Пусть дано топологическое пространство (X,\mathcal{T}), где X — произвольное множество, а \mathcal{T} — определённая на X топология. Пусть A\subset X. Точка x_0\in X называется грани́чной то́чкой мно́жества A, если для любой её окрестности U\in \mathcal{T}, U\ni x_0 справедливо:

U \cap A \neq \emptyset,\; U \cap A^{\complement} \neq \emptyset.

Множество всех граничных точек множества A называется границей и обозначается \partial A.

Свойства

  • \partial A = \partial \left(A^{\complement}\right);
  • \partial A = \bar{A} \setminus A^\circ;
  • \partial A — замкнутое множество;
  • A — открытое множество тогда и только тогда, когда A \cap \partial A = \emptyset;
  • A — замкнутое множество тогда и только тогда, когда \partial A \subset A;
  • A — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда \partial A = \emptyset;
  • \partial \partial A \subset \partial A, причем равенство \partial \partial A = \partial A достигается тогда и только тогда, когда (\partial A)^\circ = \emptyset;
  • \partial \partial \partial A = \partial \partial A.

Примеры

Рассмотрим числовую прямую \mathbb{R} со стандартной топологией. Тогда: для -\infty < a < b < +\infty:

  • Для -\infty < a < b < +\infty: \partial (a,b) = \partial (a,b] = \partial [a,b) = \partial [a,b] = \{a,b\};
  • \partial \mathbb{R} = \emptyset;
  • \partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Граница (топология)" в других словарях:

  • Граница — Граница  реальная или воображаемая линия, определяющая пределы какого либо субъекта или объекта и отделяющая этот субъект или объект от других. Населённые пункты Граница село в Кюстендилской области Болгарии. Граница бывший посёлок в… …   Википедия

  • Топология — (от греч. tоpos место и …логия (См. ...Логия)         часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела). Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных… …   Большая советская энциклопедия

  • ТОПОЛОГИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация это деформация фигуры, при которой не… …   Энциклопедия Кольера

  • Граница подмножества — Граница множества это такое множество, что его точки находятся сколь угодно близко как к точкам в множестве, так и к точкам вне множества. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Примеры 4 См. также …   Википедия

  • Граница множества — это такое множество, что его точки находятся сколь угодно близко как к точкам в множестве, так и к точкам вне множества. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Примеры 4 См. также …   Википедия

  • МАРТИНА ГРАНИЦА — в теории потенциала идеальная граница Грина пространстваW (см. также Кольцевая граница), позволяющая построить характеристич. представление положительных гар монич. функций на W. Пусть W локально компактное, но не компактное топологич.… …   Математическая энциклопедия

  • Дискетная топология — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия

  • Континуум (топология) — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия

  • Гомология (топология) — У этого термина существуют и другие значения, см. Гомология. Гомологии  одно из основных понятий алгебраической топологии. Даёт возможность строить алгебраический объект (группу или кольцо) который является топологическим инвариантом… …   Википедия

  • Внешность (топология) — У этого термина существуют и другие значения, см. Внешность. Внешность в общей топологии это внутренность дополнения.[источник не указан 266 дней] Содержание 1 Определение 2 Свойства …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»