Полугруппа

Полугруппа

В математике полугруппой называют множество с заданной на нем ассоциативной бинарной операцией ( S , *).

Стилевые проблемы
 Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка.
Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии.

Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента (единицы). Однако, следуя общепринятому подходу, мы не будем предполагать непустоту и существование нейтрального элемента, а полугруппу с нейтральным элементом будем называть моноидом. Следует отметить, что любую полугруппу S, не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент e \not\in S и определив es = s = se\ \forall s \in S \cup \{e\}.

Содержание

Примеры полугрупп

  • Положительные целые числа с операцией сложения.
  • Любая группа является также и полугруппой.
  • Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.
  • Множество всех отображений множества в себя с операцией суперпозиции отображений
  • Множество всех бинарных отношений на множестве с операцией умножения бинарных отношений.
  • Множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации (присоединения)

Две полугруппы S и T называются изоморфными, если существует биекция f : S → T, такая что \forall a,\ b \in S\ f(ab) = f(a)f(b).

Структура полугруппы

Если A,B \subset S , то принято обозначать AB=\{ab|a \in A, b \in B\}

Подмножество A полугруппы S называется подполугруппой, если оно замкнуто относительно полугрупповой операции и само в свою очередь является полугруппой.

Если подмножество A непусто и AS (SA) лежит в A, то A называют правым (левым) идеалом. Если A является одновременно левым и правым иделом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.

Пересечение двух идеалов - также идеал; из этого следует, что полугруппа не может иметь более одного наименьшего идеала. Пример полугруппы, в которой нет наименьшего идеала - положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.

Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как

a^n=\overset{n\ \mathrm {PA}3}{\overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}}.

Для степени элемента справедливо a^{m+n}=a^m\cdot a^n, (a^n)^m=a^{nm}, \forall n,m\in\mathbb N.

Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов a и b определено правое (a/b) и левое (b\a) частное.

Отношения Грина

В 1951 году Грин ввел пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. Отношения Грина на полугруппе S определяются следующими формулами

aRb\Leftrightarrow aS^1=bS^1 \ \ \ \ \ \ \ \ aLb\Leftrightarrow S^1a=S^1b \ \ \ \ \ \ \ \ \ aJb\Leftrightarrow S^1aS^1=S^1bS^1

H=L\cap R \ \ \ \ \ \ \ \ \ D=R\vee L

Уже из определения видно, что R - левая конгруэнция, а L - правая конгруэнция. Также известно, что D=R\circ L=L\circ R . Одним из наиболее фундаментальных утверждений в теории полугрупп является лемма Грина, которая утверждает, что если элементы a и b R-эквивалентны, u,v такие, что au=b, bv=a и p_u,p_v - соответствующие правые сдвиги, то p_u,p_v - взаимно обратные биекции L_a на L_b и наоборот соответственно. Также они сохраняют H-классы.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Полугруппа" в других словарях:

  • полугруппа — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN semigroup …   Справочник технического переводчика

  • ПОЛУГРУППА — множество с одной бинарной операцией, удовлетворяющей закону ассоциативности. Понятие П. есть обобщение понятия группы:из аксиом группы остается лишь одна ассоциативность; этим объясняется и термин П. . П. называют иногда моноидами, но последний… …   Математическая энциклопедия

  • полугруппа — pusgrupis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. half group; semigroup vok. Halbgruppe, f rus. полугруппа, f pranc. semi groupe, m …   Fizikos terminų žodynas

  • ПОЛУГРУППА С УСЛОВИЕМ КОНЕЧНОСТИ — полугруппа, обладающая нек рым свойством q таким, что всякая конечная полугруппа обладает этим свойством (такое свойство q наз. условием конечности). В определении свойства q могут фигурировать элементы полугруппы, ее подполугруппы и т. п.… …   Математическая энциклопедия

  • Полугруппа операторов — однопараметрическое семейство линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве. Теория полугрупп операторов возникла в середине 20 го века в работах таких известных математиков, как Э.Хилле, Р.Филиппса, К.Иосиды, В.Феллера. Основные… …   Википедия

  • полугруппа преобразования — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN transformation semigroup …   Справочник технического переводчика

  • ПОЛУГРУППА ОПЕРАТОРОВ — семейство операторов {Т} вбанаховом или топологическом векторном пространстве, обладающее тем свойством, что композиция любых двух операторов семейства снова принадлежит семейству. Если операторы Т занумерованы элементами нек рой абстрактной… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛУГРУППА НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ — однопараметрическое семейство операторов S(t),0 t< , определенных и действующих в замкнутом подмножестве Сбанахова пространства X, обладающее свойствами: 1) S(t+t)x= S(t)(S(t)x).при х С, t,t>0; 2) S(Q)x=x для любого х С; 3) при каждом х… …   Математическая энциклопедия

  • Полугруппа с делением — В математике полугруппой с делением называется частично упорядоченная полугруппа , в которой для любых двух элементов и определены правое ( ) и левое ( ) частные, причём выполняются условия …   Википедия

  • Полугруппа —         одно из основных понятий современной алгебры. П. называется множество с определённой на нём операцией, подчинённой закону ассоциативности (См. Ассоциативность). Понятие П. есть обобщение понятия группы (См. Группа): из аксиом группы… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»