Двумерное нормальное распределение

Двумерное нормальное распределение

Двумерный случайный вектор \xi=(\xi_1, \xi_2) имеет нормальное распределение, если его плотность равна

f(x) = \frac{1}{2\pi\sqrt{\mathrm{det} C}} \exp \left\{ -\frac{1}{2}(x-m)^T C^{-1} (x-m) \right\},

где

m=(\mathbf{E}\xi_1, \mathbf{E}\xi_2)

— вектор математических ожиданий,

C = ( \mathrm{Cov}_{ij} ) = \left( \begin{matrix} \mathrm{Cov}_{11}&\mathrm{Cov}_{12}\\ \mathrm{Cov}_{21}&\mathrm{Cov}_{22} \end{matrix} \right)

— ковариационная матрица.

Плотность двумерного нормального распределения записывается также в виде

f(x_1,x_2) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \times
\times \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[ \frac{(x_1-m_1)^2}{\sigma_1^2}-\rho \frac{2(x_1-m_1)(x_2-m_2)}{\sigma_1\sigma_2} +\frac{(x_2-m_2)^2}{\sigma_2^2}\right] \right\},

где

\mathrm{det} C = \mathrm{Cov}_{11} \mathrm{Cov}_{22}-\mathrm{Cov}_{12}^2 = \sigma_1^2\sigma_2^2 (1-\rho^2),

— определитель ковариационной матрицы,

\rho = \frac{\mathrm{Cov}_{12}}{\sigma_1\sigma_2} = \frac{\mathbf{E}(\xi_1-m_1)(\xi_2-m_2)}{\sigma_1\sigma_2}

— коэффициент корреляции случайных величин \xi_1 и \xi_2.

Многомерное нормальное распределение

Распределение случайного вектора \xi=(\xi_1, \ldots, \xi_k) в \mathbb{R}^k или совместное распределение случайных величин \xi_1, \ldots, \xi_k называется многомерным нормальным, если при любом фиксированном a \in \mathbb{R}^k скалярное произведение

(a,\xi) = \sum_{i=1}^k a_i\xi_i

имеет одномерное нормальное распределение (в том числе и вырожденное одномерное: (a,\xi)=\mathrm{const}).

Многомерный случайный вектор \xi=(\xi_1, \ldots, \xi_k) имеет нормальное распределение, если его плотность равна

f(x) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k \ \mathrm{det} C}} \exp \left\{ -\frac{1}{2}(x-m)^T C^{-1} (x-m) \right\},

где

m=(\mathbf{E}\xi_1, \ldots, \mathbf{E}\xi_k)

— вектор математических ожиданий,

C = ( \mathrm{Cov}_{ij} ) = \left( \begin{matrix} \mathrm{Cov}_{11}&\ldots&\mathrm{Cov}_{1k}\\ \ldots&\ldots&\ldots\\ \mathrm{Cov}_{k1}&\ldots&\mathrm{Cov}_{kk} \end{matrix} \right)

— ковариационная матрица.

См.также


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Двумерное нормальное распределение" в других словарях:

  • двумерное нормальное распределение — 1.53. двумерное нормальное распределение ; двумерное распределение Лапласа Гаусса Распределение вероятностей двух непрерывных случайных величин Х и Y такое, что плотность распределения вероятностей при ¥ < x < +¥ и ¥ < у < +¥, где mx… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • стандартизованное двумерное нормальное распределение — 1.54 стандартизованное двумерное нормальное распределение; нормированное двумерное распределение Лапласа Гаусса Распределение вероятностей пары стандартизованных нормальных случайных величин с плотностью распределения где ¥ < u < +¥ и ¥… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Нормальное распределение — Плотность вероятности Зеленая лин …   Википедия

  • нормированное двумерное нормальное распределение — Распределение вероятностей пары нормированных нормальных случайных величин. Для пары нормальных случайных величин (X, Y) с параметрами (,) и (,) соответствующие нормированные случайные величины равны:  и , а плотность вероятности равна: где… …   Словарь социологической статистики

  • Распределение Гаусса — Нормальное распределение Плотность вероятности Красная линия соответствует стандартному нормальному распределению Функция распределения Цвета на этом графике соответствуют графику наверху …   Википедия

  • Двумерное пространство — У этого термина существуют и другие значения, см. 2D. У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство. Двумерное пространство (иногда говорят двухмерное пространство) геометрическая модель плоской проекции физического мира, в… …   Википедия

  • нормированноедвумерное распределение Лапласа-Гаусса — То же, что и нормированное двумерное нормальное распределение …   Словарь социологической статистики

  • Нормальная случайная величина — Нормальное распределение Плотность вероятности Красная линия соответствует стандартному нормальному распределению Функция распределения Цвета на этом графике соответствуют графику наверху …   Википедия

  • ГОСТ Р 50779.10-2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения — Терминология ГОСТ Р 50779.10 2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения оригинал документа: 2.3. (генеральная) совокупность Множество всех рассматриваемых единиц. Примечание Для случайной величины… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Коэффициент корреляции — (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… …   Энциклопедия инвестора


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»