Промежутки действительных чисел. Окрестности

Напомним определения некоторых основных подмножеств действительных чисел. Если , то множество называется отрезком расширенной числовой прямой R и обозначается через , то есть

В случае отрезок состоит из одной точки.

Если , то множество называется интервалом и обозначается через , т.е.

Интервал называется внутренностью отрезка

Множества  и  называются полуинтервалами.

Отрезки , интервалы и полуинтервалы называются промежутками, а точки a и b - их концами: a - левым концом, а b - правым, а точки x такие, что - их внутренними точками.

Если a и b конечны, т.е. то промежуток с концами a и b называется также конечным промежутком, а число b ? a - его длиной. Если хотя бы одно из a и b является бесконечным, то промежуток с концами a и b называется бесконечным.

Замечание 1. Промежутки всех типов расширенной числовой прямой обладают следующим свойством:  если точки 
принадлежат некоторому промежутку с концами  и  то и весь отрезок  принадлежит этому промежутку.

Для промежутка каждого типа это непосредственно следует из его определения.

Важным понятием для дальнейшего является понятие - окрестности точки расширенной числовой прямой. В случае т.е. когда a является действительным числом, - окрестностью ^[1] а числа a называется интервал

Если же то

а если то

Таким образом, во всех случаях, т.е. когда a - действительно число и когда a - одна из бесконечностей при уменьшении числа соответствующие - окрестности уменьшаются: если то

Иногда бывает удобно пополнить множество действительных чисел не двумя, а одной бесконечностью (без знака) Ее - окрестность определяется равенством

Иначе говоря, - окрестность состоит из двух бесконечных интервалов и самого элемента Этот элемент также называется иногда бесконечно удаленной точкой числовой прямой. В отличие от бесконечностей со знаком и бесконечность без знака не связана с действительными числами отношением порядка.

Всякая - окрестность конечной или бесконечно удаленной точки числовой прямой называется ее окрестностью и часто обозначается просто через U(a). Иногда мы будем обозначать окрестность и другими буквами, например V, W.

Нередко с определенными выше окрестностями бесконечностей в пополнениях ими множества действительных чисел иногда рассматривают и окрестности бесконечностей и в самом множестве действительных чисел: и Сами бесконечности, конечно, уже не попадают в эти окрестности.

 Лемма
У любых двух различных точек расширенной числовой прямой (расширенной с помощью двух бесконечностей со знаком или при помощи  
только одной бесконечности без знака) существуют непересекающиеся окрестности.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай расширенной числовой прямой R, полученной добавлением к множеству действительных чисел R двух бесконечностей со знаком. Покажем, что для любых и существуют такие и что В самом деле, если a и b - действительные числа, то можно взять (рис. 1, а)^[2] Если a - действительное число, а , то в качестве указанных и подходят, например, и (рис. 1, б). Если - действительное число, то можно взять (рис. 1, в). Наконец, если то при произвольном окрестности и не пересекаются (рис. 1, г). Если же числовая прямая R дополнена лишь одной бесконечностью , то достаточно рассмотреть лишь случай и (так как случай и рассмотрен выше), в котором можно снова (как при ) взять , а

Замечание 2. В случае   и их непересекающихся окрестностей  
для любых  и  очевидно, справедливо неравенство 

Его справедливость устанавливается непосредственной проверкой во всех возможных здесь случаях, т.е. при при при и при Легко убедиться, что пересечение двух окрестностей точки (конечной или бесконечно удаленной) является также окрестностью этой точки.

Примечания

1. ^ Обозначение окрестности точки символом U происходит от нем. Umgebung - окрестность.
2. ^ Рисунок 1

Источник

Л.Д. Кудрявцев Курс математического анализа, "Дрофа"