Симплициальный объём

Симплициальный объём — топологический инвариант определённый для замкнутых многообразий. Впервые рассмотрен Громовым. Симплициальный объём многообразия $M$ обычно обозначается $\|M\|$ .

Определение

Пусть $M$ — замкнутое многообразие, тогда

$\|M\|=\inf\sum_i|r_i|$

где $r_i$ рациональные коэффициенты в представлении его фундаментального класса $[M]$ через сумму сингулярных симплексов.

$[M]=\sum_i r_i\Delta_i.$

Теорема Громова: Симплициальный объём многообразия постоянной отрицательной кривизны равен отношению его объёма к объёму регулярного бесконечного симплекса в пространстве Лобачевского той же кривизны.
Для любых многообразий $M$ и $N$ той же размерности

$\| M\#N\|= \| M\|+\|N\|$

где $\#$ обозначает связую сумму.

Существуют положительные числа $a(m)$ и $b(m)$ такие что если сумма размерностей $\dim M+\dim N\le m$ то

$a(m)\| M\|\times \|N\|\le \| M\times N\|\le b(m)\| M\|\times \|N\|$

где $\times$ обозначает прямое произведение.

Для любого отображения

$\|M\|\ge (\deg f)\|N\|$ , где $\deg f$ обозначает степень отображения $f$ . В частности,
- Если многообразие $M$ допускает отображение $M\to M$ степени $> 1$ то $\|M\|=0$ .
- Для любого $n\ge 1$ симплициальный объём $n$ -мерной сферы равен $0$ .

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии.

Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.

Категория:

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Симплекс — Запрос «Симплекс» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Симплекс или n мерный тетраэдр (от лат. simplex простой) геометрическая фигура, являющаяся n мерным обобщением треугольника. Содержание 1 Определение … Википедия
ТОПОЛОГИЯ — в широком смысле область математики, изучающая топологич. свойства разл. матем. и физ. объектов. Интуитивно, к топологич. относятся качественные, устойчивые свойства, не меняющиеся при деформациях. Матем. формализация идеи о топологич. свойствах… … Физическая энциклопедия