- Схема преобразования
-
Схемой преобразования [множеств] (Axiom schema of replacement) называется следующее высказывание теории множеств:
![~ \forall x \exist^{\{1\}} y \ (\phi[x,y]) \to \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c]) \ )](5026aa3bec732f2d641fe9d07ae46897.png)
, где ![~ \forall x \exists^{\{1\}}y \ (\phi[x,y]) \Leftrightarrow \forall x \exist ! y \ (\phi[x,y]) \Leftrightarrow \forall x \exist y \forall y' (\phi[x,y] \leftrightarrow y = y')](204006d76451ad79ae1cbffb400db4df.png)
Схему преобразования можно сформулировать по-русски, а именно: "Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое] множество
, высказав функциональное суждение 
обо всех элементах 
данного множества 
."- Пример
- В следующем примере функциональное суждение
преобразует каждое множество в самого себя. ![\phi[x,y] \leftrightarrow y = x \quad \Rightarrow \quad \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c = b)) \quad \Leftrightarrow \quad \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in a)](d4eb6351aa769b34ea7ef89c484ea256.png)
Содержание
Другие формулировки схемы преобразования
Схему преобразования записывают также в следующем виде:
- Примеры
- 1. В следующем примере функциональное суждение
преобразует множество натуральных чисел 
в множество чётных чисел 
. ![\begin{align}
a = \mathbb{N} \ \land \ (\phi[b',y] \leftrightarrow y = 2b') \quad \Rightarrow \quad \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{N} \ \land \ c = 2b))
\\ \
\Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,2,4,...\})
\end{align}](0fc2b870e96144013f88aeb85d1a0bd5.png)
- 2. В следующем примере функциональное суждение
преобразует множество вещественных чисел 
в [неупорядоченную] пару 
. ![\begin{align}
a = \mathbb{R} \quad \land \quad (\phi[b',y] \leftrightarrow (b' = 0 \to y = a_1) \ \land \ (b' \ne 0 \to y = a_2)) \quad \Rightarrow
\\ \
\exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{R} \ \land \ (b = 0 \to c = a_1) \land (b \ne 0 \to c = a_2) \ ))
\\ \
\Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c = a_1 \ \lor \ c = a_2)
\end{align}](2d70945cd637f25bf36d0920cf234f29.png)
- 3. В следующем примере функциональное суждение
преобразует множество целых чисел 
в подмножество натуральных чисел 
. ![\begin{align}
a = \mathbb{Z} \quad \land \quad (\phi[b',y] \leftrightarrow (0 \le b' \le 1 \to y = b') \land (\neg(0 \le b' \le 1) \to y = 1)) \quad \Rightarrow
\\ \
\exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{Z} \land (0 \le b \le 1 \to c = b) \land (b < 0 \lor b > 1 \to c = 1)))
\\ \
\Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{n: \ n \in \mathbb{N} \ \land \ n < 2\} \ )
\end{align}](cb67da5dcc6559cad9fe6e366e353d83.png)
Схему преобразования записывают также в следующем виде:
![~ \forall a \ ( \ \forall b \ (b \in a \to \exists^{\{0,1\}}y \ (\phi[b,y])) \quad \to \quad \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c])\ ))](0e6788bfecc62ae6d81a142b7d996ea6.png)
, где ![~ \exist^{\{0,1\}} y \ (\phi[b,y]) \Leftrightarrow \forall y \forall y' \ (\phi[b,y] \ \land \ \phi[b,y'] \to y = y')](8763d65aff92412b90fddc5826f4c93c.png)
Примечания
1. Связь между схемой преобразования и аксиомой пары выражается следующим высказыванием:
- где
- булеан булеана пустого множества.
2. Связь между схемой преобразования и схемой выделения выражается следующим высказыванием:
Историческая справка
Схема преобразования не вошла в совокупность аксиом теории множеств, сформулированных Немецким математиком Эрнстом Цермело в 1908 году.
Схема преобразования предложена Адольфом Френкелем (Adolf Fraenkel) в 1922 году. Чуть позднее и независимо от названного немецкого математика указанная схема была предложена норвежским математиком Торальфом Сколемом (Thoralf Skolem).
См. также
Литература
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).
- Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.
- Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей.
Категория:- Теория множеств
![~ \forall a \ ( \ \forall b \ (b \in a \to \exist^{\{1\}}y \ (\phi[b,y]) \ ) \quad \to \quad \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c]) \ ))](6c35135e4c4da6a7856639cd53ee1002.png)
![\begin{align}
\forall a_1 \forall a_2 \ (a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) \quad \land \quad (\phi[b',y] \ \leftrightarrow \ (b' = \varnothing \to y = a_1) \land (b' \ne \varnothing \to y = a_2) \ )
\\ \
\rightarrow \quad (\exist d \forall c \ (c \in d \ \leftrightarrow \ \exist b \ (b \in a \land \phi[b,c]))
\ \rightarrow \ \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a_1 \lor b = a_2) \ )),
\end{align}](9bdede1b7a2261846576843f3bf4d664.png)
![\begin{align} \forall a \ (\ x \in \{b: b \in a \land \Phi[b]\} \quad \land \quad (\phi[b',y] \ \leftrightarrow \ (\Phi[b'] \to y = b') \land (\neg \Phi[b'] \to y = x)\ )
\\ \
\to \quad (\exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \land \phi[b,c])) \ \leftrightarrow \ \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \land \Phi[b])) \ )
\end{align}](1cc77d5bca0ae42846cc47c6f072e78e.png)
Wikimedia Foundation. 2010.
